Вопрос 13. Эллипс, гипербола, парабола , их уравнения и св-ва. Классификация кривых второго порядка в .
Фигура на 
наз. фигурой 2-ого порядка, если в
каком-либо репере её можно задать ур-ем
степени 2 и нельзя задать ур-ем меньшей
степени.
, 
-
общий вид фигур 2-ого порядка.
Эллипс
- фокусы.
-эксцентриситет 
Св-ва эллипса: 
Гипербола
-эксцентриситет
, ∀ M∈
E
Парабола
Классификация фигур 2-ого порядка на
-эллипс ,
–мнимый эллипс,
– пара мнимых ∥
прямых,
- пара пересекающихся прямых,
- гипербола,
, p
- парабола,
- пара ∥ прямых,
- пара мнимых ∥
прямых
Везде a,b
Вопрос 14. Аффинные пространства . Плоскости в и их уравнения. Взаимное расположение двух плоскостей.
Опр. Аффинным пространством 
наз. ∅ мн-во
связанное с в.п. 
если 
, (A,B)↦
и выполняется
1) ∀A∈
и ∀ 
2)
∀ A,
B,
C
∈
, 
=
Опр.
Репер в 
- набор (
)
где 0∈
,
(
)
– базис 
.
Опр.
Подмн-во B⊂
наз. Аффинным подпр-вом (плоскостью),
если 
- подпр-во W⊂
.
W-
наз напр подпр-вом Bd
dimB=k,
если dimW=k.
Ур-я плоскостей в 
:
, (
)
– базис 
-
Векторно-параметр.
-
Ур-е плоскости общего вида
dim
Взаимное расположение плоскостей B с напр. пр-вом W и P с U
-
B⋂P
они пересекаются
B⋂P
– плоскость с напр пр W⋂U. -
B⋂P=∅
-
W⊂U или U⊂W ⇒ B∥P – параллельны
-
W⋂U={
}
⇒ B
и P
скрещиваются -
W⋂U
{
}
по W⋂U
W
и W⋂U
⇒ B
и P
частично параллельны
Пусть k=dimW
, m=dimU,
d=dim
U⋂W
, s=dim(
)
(d,
k,
m,
s)
– характеристика пары плоскостей
s=k+m-d
если 
Вопрос 15. Евклидовы точечные пространства . Ортогональность плоскостей в Расстояние от точки до плоскости в .
Опр. Евклидовым точечным пр-вом наз
аффинное пр-во связанное с евклидовым
в.п. Обозначается 
.
В.п.
наз. евклидовым , если на нём задано
скалярное произведение т.е. БЛФ 
, такая что g- симметр и
полож определ.
Расстояние между точками: 
=
Угол
между векторами – число 
Ортог: 
⊥
⇔
=0
Опр. 
и
- 2подпр-ва в 
– евкл. пр-ве
⊥
, если ∀
∈
, 
∈
=0
Опр.
и
–плоскости в 
.
⊥
, если 
⊥
ортогональные плоскости в 
либо не ⋂, либо
⋂ по точке.
Расстояние от точки
до 2 плоскости в 
определяется
след. образом :
=
Где 
- ур-е пл-ти 
в орт. репере 
16. Топологическое пространство. Способы задания топологий, сравнение топологий. Внутренность, замыкание, граница множества в топологическом пространстве.
Определение. X-
множество.
- называется топологией, если
1)
.
2)
.
3)
.
-
топологическое пространство.
Способы задания
1) Пусть
– метрика, т.е.
,
что
а)
.
б)
.
в)
.
Назовем
открытым шаром, тогда
- метрическое пространство.
Множество
называется открытым, если
.
Утверждение.
- метрическое пространство, тогда
– открытое множество.
Естественной топологией
на
называется
.
Очевидно,
удовлетворяет аксиомам топологии.
Определение.
- топологическое пространство называется
метризуемым, если
метрика
,
которая порождает эту топологию.
Определение. Если Метрики
задают одну и ту же топологию, они
называются эквивалентными.
2) Фундаментальная система окрестностей.
Определение. Пусть для
задано
.
называется элементарной окрестностью
x, а
- фундаментальной системой окрестностей,
если:
1)
для
2)
и
3)
Утверждение. Пусть на X
задана фундаментальная система
окрестностей V.
Множество
называется открытым, если
.
Семейство всех открытых множеств –
.
Тогда
1)
-топология
2)
3)
Определение.
и
– топологии на X.
Говорят что
не слабее
(
),
если
;
сильнее
,
если
и
.
Утверждение. Пусть на X
заданы фундаментальные системы
окрестностей
и
.
задает
,
а
задает
.
Тогда
Определение.
- топологическое пространство.
называется базой топологии
,
если
.
Определение.
называется внутренней точкой, если
.
– множество внутренних точек A.
Определение.
называется точкой прикосновения
множества A, если
- множество всех точек прикосновения.
Определение.
называется граничной точкой A
, Если
– множество граничных точек.
