91. Метод множителей Лагранжа.

Опр f: →  B-дифференцируема в т. x, если она дифференцируема по направлениям в этой точке и .

Опр f: →  вполне дифференцируема в т. x, если она В-дифференцируема в этой точке и ее В-производная является линейной ф-ей.

Рассм. f: → , i=0,…,p, Ω={x: },

- Задача оптимизации с ограничениями-равенствами

Пусть - заданный вектор. Ф-ей Лагранжа наз.

- множители Лагранжа

Th (правило множителей Лагранжа). Пусть - допустимая точка, являющаяся регулярной, → , явл. вполне дифференцируемыми в т. , тогда для того чтобы была лок. min, необходимо чтобы : .

Если кроме того лин. независимы, то !

92. Производные в векторных пространствах (вариация по Лагранжу, Гато, Фреше).

Задача линейного программирования: , i,j=1,...,m, <c,x> → min, xΩ

Th (Критерий оптимальности). Чтобы допустимое решение было оптимальным в задаче ЛП, необходимо и достаточно, чтобы : , , .

Lm (Фаркаша). Пусть I, J – конечное множество индексов, , . Чтобы нер-во выполнялось , удовлетворяющих системе уравнений и неравенств , необходимо и достаточно, чтобы , т.ч. и .

93. Теорема двойственности в линейных задачах.

Опр f – диф-ма по Лагранжу в т. хпо напр. H, если .

Если предел , то определена первая вариация .

Утв , , если , то она является однородной.

Опр  диф-ма по Гато в т. х, если она диф-ма по Лагранжу в т. х и явл. непрерывным линейным функционалом на Х.

Опр  диф-ма по Фреше в т. х, если она диф-ма по Гато в т. х и .

- производная по Фреше. .

Th  диф-ма по Фреше в т. х линейный непрерывный функционал