74. Метод итераций и общий неявный метод итераций для систем

линейных алгебраических уравнений, теорема о сходимости.

(1) – СЛАУ

Метод итераций требует приведения (1) к виду , где и -неподвижная точка .

Формула матрицы имеет вид .

- задано

Тогда , - задано, где - стационарный параметр, - блок зануления.

Канонический вид: (*)

.

Теорема(о сходимости метода простой итерации)

Если , то при метод простой итерации (*) сходится, т.е.

.

Если и метод простой итерации сходится при , то условия теоремы

являются необходимыми.

Метод итераций (неявный)

-матрица , , - матрица простой структуры

Рассмотрим:

Теорема Самарского(о сходимости метода неявной итерации)

Пусть и удовлетворяют условиям:

1)

2)

Для того чтобы выполнялись условия:

a)

b)

если дополнительно верно

3)

4)

то условие Самарского – необходимое условие сходимости при .

75. Метод итераций для систем нелинейных уравнений, теорема о

сходимости. Метод Ньютона для операторных уравнений, теорема о

сходимости.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений

Метод простых итераций

1) Приведем к каноническому виду

2) - неподвижная точка

3) , где -матрица:

(*)

Теорема(о сходимости метода простой итерации)

-начальное приближение, определяется по формуле (*).

Если: 1) Координатные функции определены и непрерывны по всвем в

2) - сжимающее в , т.е. ,

3) согл т.е.

Тогда (i) и все

(ii) и

(iii)

Доказательство:

(i) По индукции

; Пусть

Т.о.

(ii) - н.К?

Докажем:

(iii)

Если выполняется , то получаем схему, называемую методом Ньютона.

Можно рассмотреть метод Ньютона и для н.п.

- операторное уравнение

- линейный оператор:

Теорема(сходимость метода Ньютона)

Если: 1)

2)

3)

Тогда метод Ньютона сходится и:

76. Метод Эйлера для решения задачи Коши в случае системы

обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,

сходимость метода. Метод Рунге-Кутта для решения задачи Коши в

случае дифференциального уравнения первого порядка,

четырехточечное правило.

Рассмотрим (1) – начальные условия

Метод Эйлера – основа метода сеток.

Основные принципы:

1) Непрерывная область заменяется дискретной

- шаг сетки, - узел, - сетка.

2) заменяется дискретной моделью – некоторыми соотношениями

между , где - точное решение.

Метод Эйлера для (1):

Метод Эйлера сходится со скоростью .

Точность оценивается следующим образом:

- апосториорная оценка.

Метод Рунге-Кутта

- известно. Нужно построить по

т.е.

, где - коэффициенты метода Р-К, -

добавки метода Р-К.

- управление по ; - весовые коэффициенты; подбираются

так чтобы разложение по степеням совпадало с рядом Тейлора.

Четырехточечное правило Р-К.

77. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью.

Теория разностных схем о связи аппроксимации и устойчивости.

Пусть V - решение дифференциального уравнения.

L r=f (1)

на области G.

1. Заменяем G на G­_n – дискретная область.

2. Заменяем L на L_h : G_h →G_h.

Пусть (L(v))_h=P_h(L(v)) – средняя по Стеклову. Рассмотрим

, где v_h = P_h v

Опр. называется погрешностью аппроксимации дифференциального оператора L разносным оператором L_h.

Опр. Говорят, что L_h аппроксимирует L, если при |h|→0.

Опр. Разностный оператор L_h аппроксимирует дифференциальный оператор L c погрешностью по h если выполнено одно из условий:

1. 

2. ,

Рассмотрим (2), , ,

, где - приближенное решение верно ли .

Опр. Разностная схема (2) называется устойчивой, если для ее решения v_h справедливо:

1. имеет решение v_h при

2. решение v_h удовлетворяет условию:

Опр. Разностная схема – совокуп. Сеточных задач при различных значениях h. Разностная схема сходится, если .

Теорема (Самарского-Рилникова об устойчивости разностной схемы)

Разностная схема аппроксимировать дифференциальную задачу L(v)=f на ее решении v^* c погрешностью s>0 по |h| и эта разностная схема устойчива.

Тогда эта разностная схема сходится и скорость ее сходимости совпадает со скоростью аппроксимации, т.е.

Доказательство

По определению устойчивости и аппроксимации