66 Линейные однородные ду -го порядка и основные теоремы об их решениях.

Опр. Уравнение вида

(1)

наз-ся линейным однородным уравнением -го порядка, где – непрерывные.

Утв.1 !-ым решением следующей начальной задачи является тривиальное решение (т.е. )

Утв.2 (принцип суперпозиции)Если – решения ур-ия (1), а , то ф-ция также решение уравнения (1).

Утв.3Если ф-ция – комплексное решение, то и ф-ции и тоже решения.

Опр. Пусть – раз дифференцируемы на . Определителем Вронского функций наз-ся определитель вида:

Th (об определителе Вронского)

1) если линейно зависимы на решения уравнения (1)

2) на

3)

Следствие: – решения (1) линейно независимы на

Опр. Базисом решений или ФС(фундаментальной системой) линейного однородного уравнения (1) наз-ся совокупность решений, определенных и линейно независимых на .

Th: Базис решений уравнения (1) всегда .

Th: Если – базис решения уравнения (1) другое решение, отличное от базисного имеет вид ,

Th (формула Остроградского-Лиувиля):

– решение ДУ (1), определенное на . – определитель Вронского , где .

Th: Если – раз непрерывно-дифференцируемые ф-ции на , причем

(сходящиеся функции, определенные и непрерывные вместе со своими производными до порядка (включительно) на .)

то ! ДУ вида

Для которого – базисные решения.

67. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема Ляпунова.

Рассмотрим следующую дифференциальную систему:

(1)

Опр. Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если решение (1), такому что

выполняется (*)

Опр. Решение называется неустойчивым, если решение, для которого нарушается условие (*).

Опр. Решение называется асимптотически устойчивым, устойчиво, причем

Не ограничивая общности будем говорить об устойчивости тривиального решения.

- решение

Устойчивость 0 решения исследуется при помощи вспомогательных функций – функций Ляпунова V.

Они должны удовлетворять следующим условиям :

1. должна быть определена в области

2. 

3. 

Далее будем рассматривать д.с. вида (2), где - ?

Опр. Производной функции по времени взятой в силу дифф. системы (2) называется производная

Теорема (Ляпунова об устойчивости)

Если в знакоопределенная функция , такая что по д.с. (2) является знакопостоянной, знака противоположного или , то тривиальное решение д.с. (2) устойчиво.

Теорема (Ляпунова об асимптотической устойчивости)

Если в знакоопределенная функция , такая что по д.с. (2) является знакоопределенной, знака противоположного , то тривиальное решение д.с. (2) устойчиво асимптотически.

Теорема (Ляпунова об неустойчивости)

Если в функция , такая что по д.с. (2) является знакоопределенной, а сама функция не является знакопостоянной, знака противоположного в окрестности 0, то тривиальное решение д.с. (2) неустойчиво.

67.Принцип максимума для гармонических функций.

называется гармонической и обозначается

1. 

2. , при

Свойства : 1) ,

2)

Принцип максимума: - ограниченная, односвязная область, достигает своего наибольшего и наименьшего значения на .

Следствие: Если в условиях теоремы u достигает max/min в , то u=const.