57.Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы векторов в гильбертовом пространстве.

Опр. На векторном пр-ве над полем задано скалярное произведение, если каждой паре элементов поставлено в соответствие число так, что выполнены следующие аксиомы:

1. (линейность по первой переменной).

2. (эрмитовость).

3. .

Опр. Векторное пр-во с заданным на нем скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.

Норма элемента в предгильбертовом пр-ве .

Тh. В предгильб. пр-ве справедливо нер-во Коши-Буняковского .

Предлож. В предгильб. пр-ве справедливо тождество параллелограмма .

Опр. Предгильбертово пр-во, полное относительно нормы, называется гильбертовым.

Опр.Векторы называются ортогональными, если .

Опр.Проекция вектора на векторное подр-во - вектор такой, что .

Тh.(о проекции) -гильбертово пр-во, - его замкнутое векторное подпр-во. существует, и притом единственная, его проекция на . Причем .

Следствие. - замкнутое векторное подпр-во гильбертова пр-ва ,- его ортогональное дополнение. Тогда разлагается в прямую сумму .

Тh. -гильбертово пр-во, - ортонормированная система. . Тогда:

1.Числовой ряд сходится, причем справедливо нер-во Бесселя ;

2. сходится в .

3. сумма ряда Фурье есть проекция на подпр-во , порожденное системой .

4. (равенство Парсеваля-Стеклова)

Опр. - базис в , если .

- максимальна система, если

-полная система, если .

Т. - базис - максимальная сист- полная сист .

58. 58.Аксиоматика Колмогорова. Условные вероятности.

Опр. Вероятностным пространством называется тройка , где

– пространство элементарных событий,

- некоторая - алгебра подмножеств из ,

- - функция: вероятность.

1. 

2. 

3. 

4. … ,

1)+2)+3)+4)1)+2)+

Пусть вероятностное пространство

Опр. Условной вероятностью события А при условии события В называется число

при P(B)

A не зависит от B, тогда ,

B не зависит от A, тогда

Опр. Случайные события A и B называются независимыми, если

Теорема умножения:

P(B)>0 ; P()>0: P(=

Опр. образуют разбиение, если

1. 

2. 

3. 

Утверждение: - разбиение , B P(= (формула полной вероятности)

Формулы Байеса:

- разбиение , B

59. Числовые характеристики случайных величин, математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции и их свойства.

Пусть вероятностное пространство.

Опр. называется случайной величиной если она измерима, т.е. верно, что

или

Опр. Функцией распределения случайной величины называется функция

Свойства функции распределения:

1. монотонно неубывающая функция;

2. непрерывна справа;

3. ;

4. 

Утверждение. , удовлетворяющая свойствам 1-4 является функцией распределения некоторой случайной величины.

Опр. Распределением вероятностей случайной величины называется функция

Утверждение. Распределение вероятности и функция распределения взаимно-однозначно определяют друг друга.

Опр. вероятностное пространство, случайная величина. Математическим ожиданием называется число

Свойства :

1. ;

2. ;

3. независимые сл. величины; ;

4. .

Опр. Дисперсией сл. величины называется .

Свойства :

1. ;

2. ;

3. ;

4. , где с - const;

5. , где независимы

Пусть сл. величины, > 0

;

Опр. Коэффициентом корреляции сл.величин называется

Свойства :

1. 

2. независимые, тогда