42.Криволинейные интегралы и их основные свойства. Формула Грина

f-гладкая кривая

:[a,b]D, DRⁿ—её параметризация.

f:DR

Определение

Криволинейным интегралом 1-го рода от f по 𝜸 называется

Свойства КРИ-1

1) КРИ-1 не зависит от выбора параметризации

2)Аддитивность

f:DR- кусочно-непрерывная.

3) f: R- кусочно-непрерывная. M,

Где l-длина кривой 𝜸.

Определение

-непрерывная вектор-функция.=()

Криволинейным интегралом 2-го рода от f по 𝜸 называется

=()

Свойства КРИ-2

1) Если и -эквив., одинаково ориентированные пути, тогда

Если противоположно ориентированные

2) Связь КРИ-1 и КРИ-2

Где единичный вектор касательной

3)Аддитивность

Формула Грина

Определение

GR² называется областью с краем, если G-компактное топологическое пространство: (x,y), окр. U(x,y)- гомеоморфная либо некоторому кругу, либо полукругу , если U(x,y) гомеоморфное кругу, иначе xG-краю.

Теорема(формула Грина)

Область с краем ,

G- кусочно- гладкий, P,Q: GR²- непрерывно-дифференцируемы

43.Поверхностные интегралы, формула Стокса, формула Гаусса-Остроградского.

S-гладкая поверхность с гладким краем.S R^S, -открытое и ограниченное.

f: R-непрерывная.

Если  - глобальная параметризация, то поверхностным интегралом 1-го рода называется.

Если не  глобальной параметризации, то  {S₁,…S_N}-покрытие, {_1,…_n}-разбиение, подчиненное покрытие S_i и S_j, т.е.  атлас на S.

Свойства поверхностным интегралом 1-го рода:

1. Инвариантность не зависит от выбора ориентации.

2. f(x)=1Пов. И-1-площадь S.

- векторное поле, непрер.

Определение

Поверхностным интегралом 2-го рода называется

Для Пов.И-2 выбирается сторона поверхности.

Если не  глобальной параметризации, то рассматривается ориентированный атлас, тогда

1) Пов. И-2 меняет знак при переходе от одной ориентации к другой.

2) Формула связи Пов. И-1 и Пов. И-2

)

Формула Стокса

,

G-ограниченная, односвязная область R^s, S-гладкая поверхность с краем.

- непрерывно-дифференцируемое векторное поле 

Формула Остроградского

44. Производная от функции комплексного переменного и её геометрический смысл. Условия Коши-Римана.

Опр: f:D -> C, - предельная точка D. f наз. диф-мой в т. , если где. Это равносильно след. условию:

Утв: Если f диф-ма в т. , то диф-мы в точке .

Теорема: (Усл. Коши-Римана) f:D -> C, - предельная точка D. f диф-ма в т. 

1) u и v диф-мы в т. в смысле ,

2) выполнены усл. Коши-Римана:

Опр: f наз. аналит. в , если она диф-ма в некот. окрестности т. z . f:D -> G – аналит. в обл. D.

-гладкая кривая

=> , т.е. - аргумент производной ФКП равен углу поворота любой гладкой кривой, проходящей через заданную точку, т.е. разности угла наклона образа этой кривой и угла наклона самой кривой.

. -предел отклонения длины секущей на образе к длине секущей на прообразе – коэфф. растяжения. - коэф. растяжения бесконечно малого отрезка, выходящего из данной точки при . Если f аналит. в , то не зависит от напр. Бесконечности малого отрезка. Т.о. f - аналит. => она сохраняет углы и обладает св-вом постоянства.