1. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

- нейтральный элемент по +

Для , является противоположным.

- нейтральный элемент по

Для , является обратным.

является полем . естественным образом. Обозначим через пару , тогда можно представить в следующем виде: – алгебраическая форма.

– действительная часть числа .

– мнимая часть.

Определение 1. называется сопряженным к , если .

Утверждение 1.

Утверждение 2.

Определение 2. Модулем называется .

Свойства:

1) .

2) .

3) .

однозначное соответствие между и комплексной плоскостью, где по Ox откладываем вещественную часть числа , а по Oy – мнимую.

Если ввести на плоскости полярные координаты, получаем тригонометрическую форму числа : , где , а определяется с точностью до из равенств: .

Сложение комплексных чисел выполняется по правилу параллелограмма.

При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.

,

/

Формула Муавра: .

Определение 3. Корнем n-ой степени из называется число, которое при возведении в n-ую степень дает .

Утверждение 3. Извлечение корня n-ой степени из всегда возможно и при дает n различных корней: .

2.Кольцо многочленов от одной переменной. Корень многочлена, теорема Безу, кратность корня. Неприводимые многочлены над r и c. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов.

Рассмотрим – некоторое поле – поле коэффициентов. Рассмотрим - формальную переменную, не входящую в . Положим .

Определение 1. Многочленом от одной переменной называется запись вида . где . Многочлен имеет степень , если в его записи и при или их просто нет. Введем операции .

,

Пусть .

Сумма: , где , .

Произведение: , где , ..

Множество многочленов обозначим .

– коммутативное кольцо с 1.

Теорема о делении с остатком.

или .

Определение 2. делит , если .

– значение многочлена в точке .

Определение 3.

- корень , если .

Теорема Безу. является корнем делит .

Определение 4. называется k – кратным корнем , если делится на , но не делится на .

Определение 5. Многочлен называется приводимым, если его можно разложить , где и неприводимым, если такого разложения не существует.

Утверждение 1. Количество корней многочлена не превосходит его степени.

Основная теорема алгебры. многочлен из имеет корень т.о. при неприводимыми являются только многочлены 1-й степени.

Если – корень, то также корень. Т.о. при неприводимыми являются многочлены 1-й степени и 2-й степени у которых , т.е.корни являются единственно мнимые.

Теорема о линейном разложении. , не обратим, тогда разлагается в произведение неприводимых многочленов

Причем это разложение однозначно в следующем смысле, если , то , где – обратимый элемент.

3.Матрицы и алгебраические операции над ними. Обратная матрица, критерий существования и методы её вычисления. Жорданова нормальная форма матрицы.

Пусть Р – некоторое поле

Определение. Матрицей называется таблица n×m заполненная числами

Матрицы обозначаются или

Операции над матрицами:

1) Умножение на число:

2) Сложение:

3) Умножение

4) Транспонирование

- абелева группа

-кольцо с 1.

Утверждение. обратная (т.е. ).

Методы вычисления .

1) Метод неопределенных коэффициентов в приводит к n линейным системам n уравнений с n неизвестными. Решение каждой из систем дает столбец искомой матрицы

2) Метод алгебраических дополнений

- алгебраическое дополнение элемента матрицы А.

Жорданова нормальная форма матрицы. (ЖНФ)

Рассмотрим .

Определнеене. Клеткой Жордана называется

Определение. Жорданова матрица – квазидиагональная матрица, в которой на диагонали стоят клетки Жордана .

Определение. является ЖНФ для , если .

Теорема. Для ЖНФ с точностью до порядка следования клеток Жордана.

4. Определители, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки(столбца). Определитель произведения квадратных матриц.

Определение. Определителем n-ого порядка квадратной матрицы А называется сумма всевозможных членов, представляющих собой произведение n элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столба. Знак члена (-1)^t где t –число инверсий в перестановке 2-х индексов элементов, если 1-е индексы идут по возрастанию.

Свойства:

1)

2)

3) Если А содержит нулевую строку или столбец,

4)

5) Если в А поменять местами 2 строки/столбца, изменит знак.

6) Пусть i-ая строка А имеет вид , тогда , где получены заменой на .

7) Если в А 2 строки/столбца пропорциональны,

8) Если в А к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число, то определитель не изменится.

Рассмотрим матрицу n×n. Зафиксируем k строк и k столбов. Элементы, стоящие на пересечении зафиксированных строк и столбов образуют матрицу k×k . Определитель этой матрицы – минор порядка k исходной матриц. Обозначим М.

Если исключить зафиксированные столбцы и строки, то получим матрицу . Если определитель – дополнительный минор по отношению к М обозначим М₁.

Алгебраическое дополнение , где - сумма выделенных строк и столбцов.

Теорема Лапласа. В , зафиксируем k строк. , тогда .

М_i - всевозможные миноры, стоящие в k строках

А_i – соответствующие алгебраические дополнения.

Следствие. Пусть k=1, зафикс. i-ую строку

–разложение det по строке.

Аналогично для столбца.

I