
Лекция №13
Метод возможных направлений
Рассмотрим задачу выпуклого программирования
(13.1)
где допустимая
область
задается так
(13.2)
Поскольку функции
,
,..,
предполагаются выпуклыми, то в силу
рассмотренных ранее свойств выпуклых
функций задача (13.1)-(13.2) есть задача
минимизации выпуклой функции на выпуклом
множестве.
Введя в рассмотрение индексные множества
,
,
имеем
.
(13.3)
Для сокращения записей обозначим
,
Тогда ЗВП запишется в виде
.
Идея метода возможных направлений (МВН) заключается в том, что в каждой очередной точке находится направление спуска такое, что перемещение точки по этому направлению на некоторое расстояние не приводит к нарушению ограничений задачи. Таким образом, МВН можно рассматривать как естественное распространение метода градиентного спуска на задачи минимизации с ограничениями. В отличие от других численных методов решения таких задач, метод возможных направлений обладает тем преимуществом, что для отыскания направления спуска достаточно решить задачу линейного программирования с небольшим числом ограничений.
Для описания метода возможных направлений введем ряд определений.
Определение 13.1.
Направление,
определяемое вектором
,
называется возможным
направлением
в точке
,
если достаточно малое перемещение из
в направлении
не выводит точку за пределы допустимой
области, т.е., если существует такое
число
,
что
для всех
.
Очевидно, если
является внутренней точкой множества
,
то любое направление в этой точке
является возможным.
Определение 13.2.
Возможное направление, определяемое
вектором
,
называется
подходящим
направлением
в точке
,
если перемещение из точки
по этому направлению осуществляется с
уменьшением значения функции, т.е., если
.
Очевиден
геометрический смысл этого утверждения:
угол между вектором, задающим подходящее
направление в точке
,
и антиградиентом минимизируемой функции
в данной точке острый.
Следствием введенных
определений является утверждение: если
в точке
подходящих направлений нет, то функция
достигает в этой точке своего минимума
на множестве
,
т.е.
.
В самом деле. Пусть
в точке
нет ни одного подходящего направления,
т.е. для любого вектора
в точке
выполняется неравенство
.
Тогда при перемещении из точки
по любому из этих направлений функция
не убывает
.
Следовательно,
- точка локального минимума
.
Вычислительные алгоритмы метода возможных направлений
Метод возможных направлений осуществляется следующим образом.
1. Точка начального
приближения находится в допустимой
области
.
2. Последовательность
точек
,
принадлежащих
,
строится так, чтобы выполнялись
неравенства
.
При этом, строя точку
так, чтобы выполнялось неравенство
,
обнаруживаем, что либо
не ограничена, либо такой точки не
существует, т.е.
-
оптимальная точка. В обоих случаях
процесс решения задачи прекращается.
Задача решена.
Процедура построения
точки
состоит из двух этапов:
а) в точкеопределяется
подходящее направление
,
б) определяется
длина шага
такая, что
принадлежит
и
.
Так как направление
подходящее, то при этом оказывается,
что
.
3. Выбор подходящих
направлений
в точках
производится так, что обеспечивается
сходимость значений
к
,
либо обнаруживается, что последовательность
не ограничена.
Методы возможных
направлений можно рассматривать как
градиентные методы с конечным шагом.
Многие методы линейных и нелинейных
задач математического программирования
можно трактовать как методы возможных
направлений. Они различаются лишь
дополнительными требованиями к выбору
начальной точки
,
направления
и длины шага
.
В частности к таким методам относится
и симплекс- метод решения ЗЛП.