04 Движение по окружности

4. Кинематика движения по окружности

Уровень А

1. Тело вращается с угловой скоростью 15,7 рад/с. Найти число оборотов, которое совершит тело за время 600 с. (1500 об)

2. Колесо при равномерном вращении совершает 3 оборота за 1 с. На какой угол повернется радиус колеса за время 0,1 с? (108°)

3. Колесо совершает 50 оборотов за 10 с. На каком расстоянии от оси вращения находится точка, движущаяся со скоростью 10 м/с? (0,32 м)

4. На какой угол поворачивается Земля вокруг собственной оси за 1 мин? (0,25°)

5. Линейная скорость точек обода колеса равна 5 м/с, а скорость точек, находящихся на 18 см ближе к оси вращения, равна 2 м/с. Определить период вращения. (0,3768 с)

6. Во сколько раз уменьшится скорость движения материальной точки по окружности, если угловую скорость увеличить в 2 раза, а расстояние от точки до оси вращения уменьшить в 5 раз? (2,5)

7. Колеса электровоза диаметром 1,2 м делает 5 оборотов в секунду. С какой скоростью движется электровоз? (18,84 м/с)

8. Дисковая пила диаметром 0,5 м вращается с частотой 60 с^-1. Определить центростремительное ускорение крайних точек зубьев пилы. Принять ² = 10. (36000 м/с²)

9. Автомобиль движется со скоростью 6,28 м/с. Сколько оборотов в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек 0,5 м? (4 об/с)

10. Диаметр барабана лебедки 0,4 м. Число оборотов барабана в минуту равно 90. Определить среднюю скорость каната, наматываемого на барабан лебедки. (1,884 м/с)

11. Тело движется по окружности с постоянной скоростью 10 м/с. Определить изменение скорости тела за четверть периода; полпериода; период. ( 14,15 м/c; 20 м/с; 0)

12. Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой. Во сколько раз линейная скорость конца минутной стрелки больше конца часовой? (18)

13. Определить скорость и ускорение точек поверхности Земли, находящихся на широте 30º. Радиус Земли равен 6400 км. (400 м/с; 2,5 см/с²)

14. С какой частотой вращается колесо, если при фотографировании его с выдержкой 0,04 с каждая спица на снимке покрывает половину сектора между соседними спицами, а всего в колесе 15 спиц? (50 об/мин ≈ 0,833 об/с)

15. На горизонтальной общей оси вращаются с частотой 3000 об/мин два тонких диска, укрепленных на расстоянии 1 м друг от друга. Пуля, летящая параллельно оси вращения, пробивает оба диска. Пробоины оказались смещенными на угол 45⁰. Определить скорость пули. (400 м/с)

16. Автомобиль движется равномерно со скоростью 10 м/с. Сколько оборотов в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр колес равен 0,6 м? (5,3 об/с)

17. Велосипедист движется со скоростью 10 м/с. Какая точка обода велосипедного колеса в данный момент имеет максимальную скорость относительно земли и чему равна эта скорость? (Верхняя точка обода, 20 м/с)

18. Волчок, вращаясь равномерно с частотой 30 об/с, свободно падает с высоты 0,8 м. Сколько оборотов сделает волчок за время падения? Чему равна в момент падения скорость точки волчка, лежащей на расстоянии 0,085 м от его оси? (12 об, 16,5 м/с)

19. Период вращения первого колеса в 4 раза больше периода вращения второго, а его радиус в 2,5 раза больше радиуса второго колеса. Во сколько раз центростремительное ускорение точек обода второго колеса больше первого? (6,4)

20. Автомобиль движется со скоростью 24 м/с. Найти значение центростремительного ускорения точек поверхности колеса, если колеса диаметром 0,9 м катятся по дороге без скольжения. (1280 м/с²)

21. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной 0,5 м, в вертикальной плоскости с частотой 3 с^-1. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент когда скорость камня была направлена вертикально вверх? ² = 10. (4,5 м)

22. Линейная скорость точки А, расположенной на некотором расстоянии от центра вращающегося диска, равна 2 м/с. Определить линейную скорость точки С на краю диска, если скорость точки В, лежащей посередине между точками А и С, равна 3,5 м/с. (5 м/с)

23. Точка движется по окружности с постоянной скоростью 2,4 м/с. Вектор скорости изменяет направление на 30° за время 2 с. Каково нормальное ускорение?  = 3,1. (0,62 м/с²)

24. Переднее колесо движущегося велосипеда делает 2 об/с, а заднее - 1,5 об/с. Определить скорость велосипеда, если радиус переднего колеса на 10 см меньше радиуса заднего. (≈ 3,77 м/с)

25. Цилиндр радиусом R зажат между двумя параллельными рейками. Рейки движутся параллельно самим себе с постоянными скоростями v₁ и v₂. Определить угловую скорость вращения цилиндра и линейную скорость его центра. Проскальзывания нет.

26. Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается с частотой 2000 об/мин. Скорость самолета относительно земли 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Что представляет собой траектория движения этой точки? (≈ 316 м/с)

27. Сценическая площадка в форме диска радиусом 10 м поворачивается, опираясь на желоб того же радиуса, в котором катятся без проскальзывания шарики радиусом 0,2 м. Угловая скорость вращения шариков вокруг своей оси 4 рад/с. За какое время сцена повернется на угол 180⁰? Считать  = 3. (18,75 с)

28. Мальчик идет по краю карусели радиусом 2 м со скоростью 2,5 м/с относительно карусели. Карусель вращается в противоположную сторону с угловой скоростью 0,5 рад/с. Чему равна скорость мальчика относительно земли? (1,5 м/с)

Уровень В

29. Катушка, большой радиус которой равен R, а малый – r, катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. На катушку намотана нить, которую тянут горизонтально с постоянной скоростью v. С какой скоростью катится катушка?

30. Катушка, большой радиус которой равен R, а малый – r, катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью v. Чему равна разность скоростей точек А и В, находящихся на концах вертикального диаметра малой окружности.

31. По горизонтальной дороге без проскальзывания катится тонкий обруч радиуса R со скоростью v₀. Найти зависимость скорости точек обруча от угла  (v()).

32. Два диска связаны между собой шкивом (рис. 4.1). Левый диск крутится с угловой скоростью . Определить линейную скорость точки А правого диска.

33. Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью 2,5 рад/с, приводит в движение колесо радиусом 5 см, катящееся по неподвижному колесу радиусом 15 см (рис. 4.2). Найти скорость точки В. (1 м/с)

34. Кривошип ОА, вращаясь вокруг точки О, приводит в движение колесо 1 радиусом 20 см, катящееся по внутренней поверхности круга 2 (рис. 4.3). Колесо 1, соприкасаясь с колесом 3, заставляет его вращаться вокруг точки О. Во сколько раз угловая скорость колеса 3 больше угловой скорости кривошипа, если радиус колеса 3 равен 10 см? (6)

35. Горизонтальный диск радиусом R вращается с частотой 40 об/мин. От диска на расстоянии ½ R от его оси отрывается небольшой брусок и без трения скользит по диску. Через какое время брусок свалится с диска? (≈ 0,41 с)

36. Шарик вращается на нити в вертикальной плоскости с постоянной скоростью. Длина нити 30 см. Когда шарик проходил нижнее положение, нить оборвалась и шарик упал через 1 с на расстоянии 9,3 м от точки обрыва по горизонтали. Какова была частота вращения шарика? ( 4,9 с^-1)

37. По окружности радиусом 2 м движутся две точки так, что законы их движения имеют вид: ₁ = 3 – 4t и ₂ = 2 + 2t (рад). Определить относительную скорость точек в момент их встречи. (12 мс)

38. По ленте транспортера, движущейся с постоянной скоростью 0,5 мс, катится без проскальзывания в ту же сторону обруч со скоростью 1 мс относительно ленты транспортера. Найти скорость верхних точек обруча относительно земли. (2,5 мс)

39. Точка движется по окружности со скоростью v = аt, где a = 0,5 м/с². Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет 0,1 длины окружности после начала движения. (0,8 м/с²)

40. Груз начинает опускаться с ускорением 2 м/с², вращая шкив с радиусами 25 см и 50 см (см. рис.). Найти ускорение точки М через 0,5 с после начала движения. (8,94 м/с²)

41. Точка начинает двигаться по окружности радиуса R с тангенциальным ускорением а. Как зависит от времени угол между векторами скорости и полного ускорения?

42. Тело начинает двигаться по окружности из состояния покоя с равномерно возрастающей скоростью. Сколько оборотов сделает тело к моменту, когда центростремительное ускорение станет равно тангенциальному? (≈ 0,08 оборота)

43. Цилиндр радиусом 20 см вращается вокруг своей оси с частотой 20 об/мин. Вдоль образующей цилиндра с постоянной скоростью 30 см/с относительно поверхности цилиндра движется материальная точка. Определить полную скорость и ускорение этой точки. (0,5 м/с; 0,8 м/с²)

44. Цилиндр радиусом R может вращаться вокруг своей горизонтальной оси. На цилиндр намотана нить, к которой подвешен груз. Систему отпустили и груз начал опускаться с ускорением, раскручивая цилиндр. На какую высоту опустится груз к моменту когда тангенциальное ускорение крайних точек цилиндра станет равно их центростремительному ускорению? (R/2)

45. Точка движется по окружности радиусом 2 м по закону:  = 2 + 2t – t² (рад). Определить путь, пройденный точкой до остановки. (2 м)

46. Съемка кинофильма, для демонстрации движения повозки, осуществляется со скоростью 5 кадров в секунду. С какой скоростью должна двигаться повозка, чтобы при демонстрации кинофильма ее колесо радиусом 0,25 м, имеющее 48 спиц, казалось неподвижным? (9,375 м/с)

47. Точка движется по окружности. В некоторый момент полное ускорение точки равно а и направлено под углом 45° к вектору скорости. Через некоторое время ускорение точки, оставаясь по модулю а, стало направлено вдоль радиуса. Во сколько раз изменилась скорость точки? ( 1,19)

48. Дорога поворачивает на угол 90⁰ с радиусом закругления 40 м. Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, имеет на повороте центростремительное ускорение 1,6 м/с². За какое время он делает поворот? ( 7,85 с)

49. Через блок радиусом 0,2 м переброшена нить с одинаковыми грузами на концах. Грузы привели в движение, при этом ось блока поднимается со скоростью 1 м/с, а один из грузов опускается со скоростью 2 м/с относительно земли. С какой частотой вращается блок? (≈ 2 об/с)

50. Колесо радиуса R равномерно катится по горизонтальной поверхности. От точки А колеса отрывается капелька грязи. С какой минимальной скоростью должно двигаться колесо, чтобы капелька, побывав в воздухе, снова опустилась в точку А?

51. Через какое время встречаются минутная и часовая стрелки часов? ( 1,09 ч  65,5 мин)

52. Плоский обруч движется так, что в некоторый момент времени скорости концов диаметра АВ лежат в плоскости обруча, перпендикулярны АВ и равны v_A и v_B. Определить скорости точек С и D, если СD тоже диаметр перпендикулярный АВ и эти скорости тоже лежат в плоскости обруча.

53. Тело брошено со скоростью v₀ под углом  к горизонту. Определить среднюю за время полета угловую скорость вращения вектора скорости тела.

54. Карусель радиусом 10 м расположена на высоте 5 м от земли. У одного из катающихся выпал из рук предмет. На каком расстоянии от центра карусели предмет упал на землю, если один оборот карусель делает за 5 с? (≈ 16,2 м)

55. Самолет летит горизонтально по окружности радиусом 1 км на высоте 1,5 км с постоянной скоростью 100 м/с. С интервалом времени 10,5 с с самолета сбрасывают два мешка. На каком расстоянии друг от друга мешки упадут на землю? (2 км)

Уровень С

56. Если колесо катится по горизонтальной дороге без проскальзывания, то траекторией любой точки обода колеса является линия, называемая циклоидой. Определить радиус кривизны циклоиды в верхней точке, если радиус колеса R. (4R)

57. Малый радиус несущей части трамвайного колеса равен r, а большой радиус - R. Определить радиус кривизны циклоиды в верхней точке.

58. Обруч малого радиуса катят без проскальзывания по большому обручу: один раз по наружной его поверхности, другой - по внутренней. Оба раза маленький обруч совершает один оборот вокруг большого. На сколько раз больше повернется маленький обруч вокруг своей оси в первом случае, чем во втором? (2)

59. Катушку тянут за намотанную на нее нить. В какую сторону и с какой скоростью катится катушка, если нить тянут со скоростью u: а) в горизонтальном направлении; б) в вертикальном направлении? Большой и малый радиусы катушки равны R и r, проскальзывания нет.