Понятие о тензоре момента инерции

Нами было показано что момент инерции ось симетричного однородного тела вращения совпадает по направлению с угловой скоростью данного тела вращения тоесть в случае ось симетричного однородного тела вращения

L=I

В этом случае взаимосвязь между составляющими угловой скорости и момента импульса выглядит следующим образом

Lx=Ix

Ly=Iy

Lz=Iz

В общем случае момент импульса тела не совпадает с направлением вектора угловой скорости, поэтому существует необходимость связать между собой вектор угловой скорости и вектор момента импульса данного тела. В самом общем случае каждая составляющая момента импульса тела вращения связана со всеми тремя составляющими вектора угловой скорости.

Lx=I11x+I12y+I13z

Ly=I21x+I22y+I23z

Lz=I31x+I32y+I33z

Этуже запись можно сделать по другому.

L=I

I - тензор момента инерции является математической таблицей и выглядит так:

Э лементы тензора могут быть определены следующим образом. Рассмотрим некоторое произвольное тело вращения. Выберем татериальную точку на теле вращения положение которой определяется *ri. Момент импульса данного тела вращения определяется так:

(*)

Двойное векторное произведение трёх векторов АВС удобно раскрыть формулой:

Тогда (*) =

Раскрываем те скалярные произведения которые фигурируют в выражении для L, получаем следующее:

Записываем по коллинеарной записи момент импульса тела используя выше представленные выражения и сравниваем данные выражения с выражением (1). Получаем тензоры момента импульса.

Элементы I11, I22, I33 (диагональные элементы тензора момента инерции) являются моментами инерции тела относительно момента инерции оси. Не диагональные моменты инерции являются моментами инерции центробежными. Тензор момента инерции является симметричным тоесть для него выполняется условие: Imk=Ikm; I13=I31.

В общем случае расчёт тензора момента инерции ведётся по более сложной формуле. В том случае если тело будет неоднородным, то есть плотность тела будет являться функцией от координат расчёт можно произвести:

dU – элементарный объём; V – объём всего тела;  - плотность.

Свободные оси, гироскоп, гироскопический эффект.

Если некоторое тело привести во вращение вокруг собственной оси, а затем эту ось освободить, то её положение в пространсве будет меняться. Однако существуют такие оси вращения тел которые не меняют своей ориентации будучи освобождёнными, эти оси называются свободными осями или осями свободного вращения. Можно доказать что у любого тела существует три взаимно перпендикулярные оси проходящие через центр масс тела которые я вляются свободными осями вращения. Например у паралелепипеда.

Такими осями являются три оси симметрии проходящие через центр масс данного параллелепипеда. У шара свободными осями вращения является оси проходящие через диаметр шара. У цилиндрами свободными осями вращения является ось симметрии и две взаимно перпендикулярные оси проходящие через центр масс данного цилиндра.

Вращение вокруг свободной оси с наибольшем и наименьшем моментом инерции является устойчивым. Вращение вокруг осей со средним моментом инерции является не устойчивым. Таким образом у параллелепипеда ест две устойчивые оси вращения у шара три у цилиндра три.

На свойствах свободных осей сохраняющих свое положение в пространстве основано действие гироскопов. Массивных ось симметричных однородных тел способных сохранять свое положение в пространстве при вращении.

Д ля гироскопов свойственен гироскопический эффект.