Определение площади аналитическим способом

Если по результатам измерений на плане (карте) определены координаты вершин замкнутого многоугольника, то площадь последнего может быть определена аналитическим способом.

Пусть известны прямоугольные координаты вершин треугольника 1 – 2 – 3 (рис. 24). Опустив из его вершин перпендикуляры на ось 0У, площадь треугольника можно представить как алгебраическую сумму площадей трех трапеций: I – (1'— 1—2—2'); II – (2'-2-3-3') и III – (1'-1-3-3'), то есть

S = S₁ + S_II + S_III .

Площади рассматриваемых трапеций определяются так:

S_I = ½ (х₁ + х₂) (у₂ – у₁ ;)

S_II = ½ (х₂ + х₃) (у₃ – у₂) ;

S_III = ½ (х₁ + х₃) (у₃ – у₁ .)

Тогда удвоенная искомая площадь треугольника 1-2-3 будет равна

2S = (х₁ + х₂) (у₂ – у₁) + (х₂ + х₃) (у₃ – у₂) - (х₁ + х₃) (у₃ – у₁) ,

отсюда

2S = х₁ (у₂ – у₃) + х₂ (у₃ – у₁) + х₃ (у₁ – у₂)

или

2S = у₁(х₃ - х₂) + у₂ (х₁ - х₃) + у₃ (х₂ - х₁)

.

В общем виде

и

.

ли

Для контроля вычисления производят по обеим формулам.

Если координаты точек получены по результатам измерений на местности, то точность способа повышается, так как при этом на точность вычисления площади влияют лишь погрешности угловых и линейных измерений на местности. Так, при измерении углов с точностью 1' и длин линий с точностью 1:2000 относительная погрешность определения площади составит примерно 1 : 1500.

Рис. 24. Определение площади аналитическим способом

Определение площади графическим способом

Сущность графического способа состоит в том, что площадь участка на плане разбивается на простейшие геометрические фигуры - прямоугольники трапеции, треугольники. По формулам геометрии определяют площади отдельных фигур и подсчитывают общую площадь участка. Наилучшим вариантом разбивки является деление участка на равносторонние треугольники. Точность определения площади участка зависит от числа взятых фигур и углов границы участка. Точность измерения повышается в результате повторных измерений и при новой разбивке участка на другие фигуры. За окончательный результат принимают среднее арифметическое из всех измерений.

Как правило, конфигурации участков леса, пашен, лугов, болот и т.д. имеют неправильные геометрические формы. Поэтому для измерения площадей небольших участков с криволинейным контуром применяют квадратные или параллельные палетки на прозрачном материале (рис. 25 а, б).

Рис. 25. Палетки: а - квадратная; б – параллельная

Квадратная палетка представляет собой квадрат со стороной 1 дм, который разбит на сеть средних квадратов со стороной 1 см, средние квадраты разбиты на сеть малых квадратов со стороной 2-5 мм.

Площадь участка определяется подсчетом больших, средних и малых квадратов, заключенных в фигуре участка. Для повышения точности и контроля измерение площади участка следует производить повторно, меняя положение палетки относительно контура участка.

Недостатком применения квадратных палеток является то, что доли палеток оцениваются на глаз и подсчет числа клеток затруднителен. Этого недостатка можно избежать при применении параллельных палеток (см. рис. 25, б).

Здесь параллельные линии проведены на расстоянии 5 мм одна от другой. Палетку накладывают на криволинейный контур участка так, чтобы какие-нибудь две линии палетки касались контура (А и В). В этом случае можно считать, что площадь участка разбивается палеткой на ряд трапеций с основаниями ai,a₂, ..., а_п и постоянной высотой h.

Крайние части палетки с точками А и В следует считать трапециями с основаниями, равными нулю. Общая площадь участка

S = h (a₁+ a₂+ ...+ a_n)