2. Интервальные оценки

Любая точечная оценка неизвестного параметра а представляет собой случайную величину. Принимая оценку за значение параметра а, мы, как правило, совершаем ошибку, даже в том случае, когда оценка является несмещенной и состоятельной. Поэтому важно знать, каковы точность и надежность используемой оценки. Задача состоит в том, чтобы уметь находить границы, в которых с определенной вероятностью заключено неизвестное значение параметра. Эту задачу решают следующим образом.

Пусть по сделанной выборке удалось найти два числа а₁ и а₂ такие, что при любых значениях параметра а выполняется равенство

(14)

В этом случае числа а₁ и а₂ называют доверительными границами, а интервал (а₁; а₂) — доверительным интервалом, соответствующими доверительной вероятности . Число называют также надежностью оценки.

Нижняя и верхняя границы а₁ и а₂ доверительного интервала находятся по сделанной выборке и, следовательно, являются случайными величинами. Поэтому доверительный интервал (а₁; а₂) также определяется случайным образом. Если случайное событиепроисходит, то говорят, что доверительный интервал (а₁; а₂) накрывает неизвестный параметр а. Равенство (14) означает, что интервал (а₁; а₂) накрывает неизвестный параметр а с вероятностью .

Выбор доверительной вероятности (надежности) определяется конкретными условиями. Обычно берут равной 0,90; 0,95; 0,99. Если конкретные условия задачи

позволяют считать все события, вероятность которых меньше 0,10 (соответственно 0,05;

0,01), невозможными, то считают практически достоверным, что доверительный интервал накрывает неизвестный параметр, и за значение параметра принимают середину

доверительного интервала. При этом считают практически достоверным, что ошибка не будет превосходить числа .

В математической статистике используются разнообразные методы отыскания доверительных интервалов для неизвестных параметров случайных величин. В качестве примера покажем, как можно найти доверительный интервал для неизвестного параметра случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

Рассмотрим снова случайную величину X— число наступлений события А в серии из п независимых опытов, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р. Как мы уже знаем, в случае, когда р неизвестно, в качестве оценки вероятности р берется частота, причем эта оценка является несмещенной и состоятельной. Можно доказать, что при большом числе опытов границы а₁ и а₂ доверительного интервала, соответствующего надежности , приближенно выражаются формулами

, (15)

где k — число наступлений события A в п опытах, а х — корень уравнения

Корень этого уравнения находится по таблице значений функции Лапласа Ф₀(х) (см. таблицу 1). Формулами (15) можно пользоваться при

138

п >50, k >5, п - k >5 (16)

т. е. во многих практически важных случаях. Если же условия (16) не выполняются, то для построения доверительного интервала пользуются другими формулами.

Пример 5. С автоматической линии было отобрано и проверено 400 деталей, 10 деталей оказались бракованными. Найти доверительный интервал, накрывающий с надежностью 0,9 неизвестную вероятность изготовления бракованной детали.

Решение: по условию имеем п = 400, k = 10, = 0,9. Так как надежность

= 0,9 задана, то получаем уравнение Ф₀(х)= . Из таблицы значений функции Лапласа Ф₀(Х) (см. приложение 1) следует, что 1,645. По формулам (15) находим границы доверительного интервала:

.

Таким образом, если считать неизвестную вероятность равной

,

то с вероятностью 0,9 ошибка не превзойдет числа

.

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания а нормально распределенного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный

интервал

, (15)

где - точность оценки, п- объем выборки , t –значение аргумента функции Лапласа Ф₀(t), при котором Ф₀(t)= , при неизвестном среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки п<30)

, (16)

где s- «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение ,

- находят по таблице (см. приложение 2) по заданным .

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонении нормально распределенного признака Х по «испраленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

(17)

где q- находят по таблице (см. приложение3) по заданным .

Пример 6. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя , объем выборки .

139

Решение: воспользуемся формулой (15): . Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф₀(t)=. По таблице 1 находим t=1,96. Подставив t=1,96, ,, в (15), получим доверительный интервал:

.

Пример 7. По данным выборки объема16 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднеквадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

Решение: задача сводится к отысканию доверительного интервала по формулам (17):

По данным задачи 0,95 и 16 по таблице 3 найдем q=0,44. Т.к. q<1 , т о подставив s=1 и q=0,44 в (*), получим доверительный интервал .