1.3 Статистико-вероятностные зависимости надежности технических устройств.

Для оценки надежности технических устройств разрабатываются различные аналитические модели на базе непрерывных дискретных распределений случайных величин. Наиболее употребимыми являются непрерывные распределения.

В самом общем случае эти зависимости можно представить

1. функцией надежности, называемой функцией вероятности о безотказной работы объекта в момент времени t [4, 5]:

(1.1)

где P(t) – вероятность безотказной работы объекта в момент времени t; Tg – время, по истечении которого P(t) = 0 (предельный ресурс работы объекта); λ(t) – функция интенсивности отказов [4, 5];

2. функцией надежности, называемой также функцией распределения вероятности отказов объекта в момент времени t:

(1.2)

Часто в качестве модели используется плотность вероятности, представляющая собой первую производную от функции вероятности отказов:

(1.3)

Вид функций распределения, который называют законом распределения, определяется функцией интенсивности отказов. Самый простой случай будет иметь место при λ(t)= λ = Const. (1.4)

В этом случае будет иметь место так называемое экспоненциальное распределение. Его уравнения имеют вид

(1.5)

Геометрический вид функции экспоненциального распределения приведен на графиках (рис. 1.7). Экспериментальная информация предоставляется в виде протоколов испытаний или в виде гистограмм.

Рис. 1.7

Гистограмма интенсивности λ_N(t), определенная экспериментально (рис. 1.8), с достаточно хорошей точностью показывает, что λ_N(t) ≠ Const, распределение практически не является экспоненциальным, Методика обработки информации и построения подобных гистограмм будет рассмотрена ниже.

Рис. 1.8

Интенсивность отказа, выражение степенной функции вида

, (1.6)

приводит к распределению Вейбулла – Гнеденко [4, 5, 9].

(1.7)

В формулах (1.6) и (1.7) μ и α – параметры распределения. Распределения Вейбулла – Гнеденко практически позволяет путем подбора параметров μ и α описать большинство кривых.

Видно (рис. 1.9), что экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла – Гнеденко при α = 1.

Для оценки надежности применяется и нормальное распределение. Его основные аналитические зависимости следующие:

(1.8)

(1.9)

В формулах (1.8) и (1.9) T₀ , σ – параметры распределения.

Рис. 1.9. Вид кривой интенсивности отказов распределения Вейбулла – Гнеденко при различных значениях α.

В работе [6] показано, что детерминированные и статические зависимости для одних и тех же условий старения являются подобными. В общем виде функция работоспособности имеет вид.

(1.10)

где R_o – начальный запас работоспособности; λ_r(t) – детерминированный аналог интенсивности отказов. Детерминированная функция старения имеет следующий вид:

(1.11)

Уравнение (1.10) и (1.11) подобны уравнениям (1.1) и (1.2), константой подобия является R_o.

Краткое знакомство с информацией о надежности и работоспособности, а также об их взаимосвязи и подобии еще раз подчеркивает важность научных способов обработки, в том числе и аппроксимации.