Примеры выполнения задания 1
Пример 1
Имеется положительное число t и конечная последовательность положительных натуральных чисел (весов) w0, w1, …, wn. Необходимо определить, можно ли из этих весов выбрать такой их набор, чтобы сумма чисел из этого набора точно равнялась величине t. Например, если t = 10 и последовательность весов состоит из чисел 5, 4, 4, 1, то можно выбрать первый, второй и четвертый веса, поскольку 10 = 5 + 4 + 1; если t = 13, то можно выбрать первый, второй и третий, поскольку 13 = 5 + 4 + 4; если t = 15, то решений нет.
Решение
Построим алгоритм на основе рекуррентного соотношения для функции knapsack(s, i), принимающей значение 1, если существует набор весов из последовательности wi+1, wi+2, …, wn, сумма весов которого равна t. Рекуррентное соотношение будет следующим:
Напишем подпрограмму, соответствующую этому соотношению. Учитывая, что индексы массива принимают значения от 0, обозначим w[i] = wi+1. Массив весов теперь будет состоять из чисел w[0], …, w[n-1]. Обозначим первый аргумент подпрограммы через t, а второй – через cand. Получим подпрограмму
int knapsack( int t, int cand )
{
if (t == 0) return 1;
if (t < 0 || cand >= n) return 0;
else if (knapsack(t-w[cand],cand+1))
{
printf(" %d",w[cand]); // выводим число, вычтенное из t
return 1;
}
else return (knapsack( t,cand+1 ));
}
Теперь для тестирования этой подпрограммы надо определить массив весов w[ ] и количество весов n. Рассмотрим случаи t = 32 и t = 28, веса равны: 6, 8, 8, 11, 12. Окончательное решение будет следующим:
// Задача о ранце
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>
int w[ ] = {6, 8, 8, 11, 12};
int n;
int knapsack( int t, int cand )
{
if (t == 0) return 1;
if (t < 0 || cand >= n) return 0;
else if (knapsack(t-w[cand],cand+1))
{
printf(" %d",w[cand]); // выводим число, вычтенное из t
return 1;
}
else return (knapsack( t,cand+1 ));
}
main()
{
clrscr();
n=5; // количество весов – элементов множества w[ ]
if (knapsack(12+12+8,0))printf("\n");
else printf("Unsolvable\n"); getch();
if (knapsack(8+8+12,0))printf("\n");
else printf("Unsolvable\n"); getch();
getch();
}
Программа выведет
unsolvable
12 8 8
Пример 2
Задана непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x), значения которой в точках a и b имеют противоположные знаки, т.е. f(a) * f(b) < 0. Найти решение уравнения f(x) = 0, с точностью до ε > 0, если функция f определена как подпрограмма.
Решение
Корень уравнения f(x) = 0 будем искать с помощью деления отрезка пополам. Если f(a) и f((a + b) / 2) имеют противоположные знаки, то корень находится в интервале [a, (a + b) / 2], в противном случае – в интервале [(a + b) / 2, b]. Если длина интервала меньше ε, то решение x = (a + b) / 2 будет отличаться от корня не больше, чем на ε. Построим алгоритм:
-
Разделить отрезок пополам, x = (a + b) / 2.
-
Если f(x) = 0, то x – корень уравнения.
-
Иначе, если f(a) и f(x) имеют разные знаки, применить данную процедуру с шага 1 к отрезку [a, x], а в противном случае – к отрезку [x, b].
Аргументами рекурсивной подпрограммы будут указатель на функцию f и числа a, b, ε. Присоединяя к подпрограмме тестовый пример, получим следующий окончательный текст.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
double root(double (*f)(double),double a,double b,double eps);
double f(double x);
void main()
{
clrscr();
printf("%20.19f", root(f,1,4,0.000000000000001));
}
double root(double (*f)(double),double a,double b,double eps)
{
double x =(b+a)/2;
if(f(a)==0) return a;
if(f(b)==0) return b;
if( (b-a)<eps ) return x;
if(f(x)==0) return x;
else if(f(x)*f(a) < 0) return root(f,a,x,eps);
else return root(f,x,b,eps);
}
double f(double x)
{
return sin(x);
}
Программа выведет:
3.1415926535897935600
Пример 3
Дан массив целых чисел. Найти минимум его элементов с помощью рекурсивной функции min1(k), возвращающей минимум последних элементов, начиная с k-го.
Решение
Пусть x[0], x[1], …, x[n-1] – заданный массив целых чисел. Тогда функция min1(k), возвращающая минимум элементов x[k], x[k+1], …, x[n-1], будет удовлетворять соотношению
min1(k) = min( x[k], min1(k+1)).
Добавляя равенство min1(n-1) = x[n-1], напишем текст функции и тестирующей программы:
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
int x[] = {1, 2, 1, 3, 12, 2};
int min1(int k)
{
int s;
if( k == sizeof(x)/2 – 1) // если k = n - 1
return x[sizeof(x)/2 – 1];
else
{
s = min1(k+1);
if( x[k] < s ) return x[k]; // возврат минимума чисел
else return s; // min1(k+1) и x[k]
} }
void main()
{ printf(“\n min = %d”, min1(0)); } // вывод минимума элементов массива
Программа выведет:
min = 1
Пример 4
Дана текстовая строка char *s. Проверить, симметрична ли часть строки s от s[i] до s[j], i ≤ j.
Решение
Пусть sym(i, j) – функция, принимающая значение 1, если часть строки от s[i] до s[j] симметрична, и 0 – если нет. Тогда при i < j имеет место соотношение sym(i, j) = sym(i+1, j-1). Отсюда
sym(i, j) = sym(i+1, j-1) = sym(i+2, j-2) = …
Ясно, что sym(i, j) = 1, ибо строка из одного символа симметрична, и sym(i, i-1) = 1, поскольку строка от s[i] до s[i-1] пуста. Отсюда sym(i, j) = 1, при i ≥ j.
Напишем рекурсивную подпрограмму, использующую эти соотношения. Учитывая, что длина строки вычисляется с помощью функции strlen(), получим следующий текст:
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int sym(char *s, int i, int j)
{
if (i>=j) return 1; // если подстрока пуста
// или содержит 1 символ
if (s[i]==s[j]) return sym(s,i+1,j-1);
else return 0; // если s[i] != s[j], то несимметрична
}
// тестовая программа
main()
{
char *str="ababa"; // входная последовательность символов
if(sym(str,0,strlen(str)-1)) printf("\nСтрока симметрична\n");
else printf("\nСтрока несимметрична\n");
}
Программа выведет:
Строка симметрична
Пример 5
Вычислить количество цифр в текстовом файле.
Решение
Определим рекуррентное соотношение для функции int rec(), возвращающей число цифр. Пусть эта функция читает символ и определяет число цифр в файле, записанных не раньше этого символа. Тогда если при чтении был обнаружен конец файла, то функция должна возвратить 0. В других случаях
rec( ) = число цифр после данного символа, если символ – не цифра, и
rec( ) = 1 + число цифр после данного символа, если символ – цифра.
Текст рекурсивной функции и вызывающей ее программы:
#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
int rec( FILE *f) // возвpащает число цифp в файле f
{
int c = fgetc(f);
if (feof(f)==0)
{
if (isdigit(c)) return rec(f) + 1; // если c - цифра
else return rec(f);
} else return 0; }
main()
{
FILE *fp = fopen("tp05.c","r"); // открывает файл,
printf ("\n %d", rec( fp )); // содержащий данный текст
fclose(fp);
}
Программа выведет:
5
Пример 6
Вывести на экран в обратном порядке текст, записанный в текстовом файле.
Решение
Будем читать данные из файла с помощью подпрограммы, читающей по одному символу. Если эта подпрограмма обнаруживает конец файла, то производится возврат. В противном случае прочитанный символ выводится после рекурсивного вызова этой подпрограммы.
Текст подпрограммы и вызывающей ее программы, решающих поставленную задачу, будет следующими:
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
FILE *fp;
void print(void)
{
char c; // локальная переменная
if (fscanf(fp,"%c",&c) == EOF) return;
print(); // 'c' запоминается в стек
printf("%c",c); // вывод символа из системного стека
}
main()
{
clrscr(); // очистить экран
fp = fopen("ovp2.txt","rt"); //открыть текстовый файл на чтение
print(); // вызов подпрограммы
}
Для входного файла:
123456
Программа выведет:
654321