- •Глава 1. Нахождение корней уравнений Введение
- •1.1. Функции произвольного вида
- •1.2. Нахождение корней полиномов
- •1.3. Нахождение корней уравнений путем символических преобразований.
- •1.4 Поиск корней уравнений в Mathcad 2000.
- •Глава 2. Решение систем уравнений и неравенств. Введение
- •2.1. Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств.
- •2.2. Решение систем линейных уравнений и неравенств.
- •2.3. Символическое решение систем уравнений
- •2.4. Нахождение экстремумов функций
- •Глава 3. Аппроксимация функций Введение
- •3.1. Локальная интерполяция
- •3.1.1. Линейная интерполяция.
- •3.1.2. Интерполяция сплайнами.
- •3.2. Глобальная интерполяция
- •3.3. Метод наименьших квадратов введение
- •3.3.1. Аппроксимация линейной функцией
- •3.3.2. Аппроксимация полиномами
- •3.3.3. Аппроксимация линейной комбинацией функций
- •3.3.4. Аппроксимация функцией произвольного вида
- •Глава 4. Вычисление определенных интегралов
- •4.1. Метод Ромберга
- •4.2 Вычисление определенных интегралов
- •Глава 5. Решение дифференциальных уравнений
- •5.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения Введение
- •5.1.1. Метод Эйлера для дифференциальных уравнений первого порядка
- •5.1.2. Решение систем дифференциальных уравнений.
- •5.1.3. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутты
- •5.1.4. Решение дифференциальных уравнений второго порядка
- •5.1.5. Решение краевой задачи.
- •5.1.6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad 2000
- •5.2. Решение уравнений в частных производных. Введение
- •5.2.1. Уравнения гиперболического типа
- •5.2.2. Уравнения параболического типа.
- •5.2.3. Решение уравнений Лапласа и Пуассона.
- •Глава 6. Статистические расчеты на Mathcad
- •6.1. Генерация чисел, распределенных равномерно.
- •6.2. Генерация случайных чисел, распределенных по нормальному закону.
- •6.3. Вычисление коэффициента корреляции.
- •6.4. Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов
- •Глава 7. Анализ и синтез сигналов с помощью преобразования Фурье.
- •8. Исходные материалы.
Глава 2. Решение систем уравнений и неравенств. Введение
Формально задача поиска решения системы уравнений
может быть записана точно так же, как и задача поиска корня одного уравнения , где . Вблизи точки каждая из функций может быть разложена в ряд Тейлора
или в векторной форме , где J – матрица Якоби с элементами
Ограничиваясь только первыми двумя членами разложения и полагая, что , получаем уравнение . Таким образом, мы получаем схему для уточнения решения системы уравнений, аналогичную методу Ньютона для случая одного уравнения
Поскольку вычислять матрицу Якоби на каждом шаге достаточно трудоемко, то обычно ее элементы вычисляют приближенно или используют одни и те же значения на нескольких шагах. Одну из разновидностей метода Ньютона – метод Левенберга-Маркардта – использует Mathcad.
2.1. Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств.
Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать на Mathcad блок given в сочетании с функцией Find.
Внимание! В блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.
Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова given.
При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=
Перед словом given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных.
Блок given не пригоден для поиска индексированных переменных.
Если мы хотим найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.
Признаком окончания системы служит функция Find, если мы хотим найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и мы хотим найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.
Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.
В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution – решение не найдено.
Зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.
Если необходимо найти решение при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую функцию
Обратите внимание! В этом случае не нужно задавать начальные приближения перед началом блока given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)
Подобным же образом можно решать системы, зависящие от параметра.
2.2. Решение систем линейных уравнений и неравенств.
Совершенно аналогично решаются системы линейных уравнений.
Однако в том случае, когда система линейных уравнений невырождена, то есть ее определитель отличен от нуля, более изящным (хотя и не самым эффективным с точки зрения вычислительной математики) является матричный способ решения.
Решим линейную систему одним и другим методом.
Решим ту же самую систему матричным методом.
Запишем матрицу системы и вектор свободных членов.
Решим систему, умножая слева столбец свободных членов b на матрицу
обратную матрице a.
Если Вы работаете с продвинутой версией Mathcad, то для этих же целей можно воспользоваться встроенной функцией lsolve