- •2.5. Признак сходимости ограниченной монотонной последовательности. Число «е» как предел последовательности рациональных чисел
- •2.6. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности
- •2.7. Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы
- •2. Задачи Группа а
- •Группа б
- •Группа в
2. Задачи Группа а
1. Доказать, что (указать ).
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
2. Доказать ограниченность или неограниченность последовательностей .
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
3. Установить, являются ли последовательности бесконечно большими, бесконечно малыми или не являются ни бесконечно большими, ни бесконечно малыми.
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) 4
9) ; 10) .
Группа б
1. Для каждой из последовательностей найти все предельные точки, , , , .
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
2. Для каждой из последовательностей найти все предельные точки, , , , .
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
Группа в
1. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1) ; 2) ;
3) 4) ;
5) ; 6)
7) ; 8) ;
9) ;
10) .
2. Для последовательности найти , , и .
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
3. Выполнить следующие задания.
1) Доказать, что последовательности и , определяемые формулами , , , имеют общий предел .
2) Пусть - последовательность чисел, определяемая следующей формулой , , . Доказать, что .
3) Доказать, что последовательность , где , сходится.
4) Доказать, что если - натуральное число, то
.
5) Доказать, что если , и существует , то .
6) Доказать, что .
7) Доказать, что если , то .
8) Доказать, что если последовательность сходится и , то .
9) Доказать, что если , то
.
10) Пусть числовая последовательность удовлетворяет условию . Доказать, что существует.