4.5. Критерий Коши

Теорема 3 (критерий Коши). Функция , , имеет в точке конечный предел тогда и только тогда, когда для любого числа существует такое число , что для всех точек , , удовлетворяющих неравенствам , , выполняется неравенство .

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует конечный предел . Фиксируем произвольное положительное число . В силу определения предела по Коши для положительного числа найдется положительное число такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента и , удовлетворяющих условиям , , для соответствующих значений функции справедливы неравенства , . Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то в силу последних неравенств получим, что , а это и означает, что функция удовлетворяет в точке условию Коши.

Достаточность. Пусть функция удовлетворяет в точке условию Коши. Требуется доказать, что эта функция имеет предел в точке . Пусть – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к и состоящая из чисел, отличных от . В силу определения предела по Гейне достаточно доказать, что соответствующая последовательность значений функции сходится к некоторому числу и что это число одно и тоже для всех сходящихся к последовательностей , состоящих из чисел, отличных от .

Докажем сначала, что для каждой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к некоторому пределу. Фиксируем произвольное положительное число и по нему отвечающее ему, согласно условию Коши, положительное число . В силу сходимости последовательности к и в силу условия для этого найдется такой номер , что при . Если теперь – любое натуральное число, то тем более при . Таким образом, при и для любого натурального справедливы неравенства , . Из этих двух неравенств и из условия Коши вытекает, что при и для любого натурального , а это означает фундаментальность последовательности . В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности последовательность сходится к некоторому числу .

Остается доказать, что для любых двух сходящихся к последовательностей значений аргумента и все элементы которых отличны от , соответствующие последовательности значений и сходятся к одному и тому же пределу. Предположим, что последовательности и сходятся к пределам и соответственно. Рассмотрим новую последовательность значений аргумента , , , , …, сходящуюся к и состоящую из чисел, отличных от . В силу доказанного выше соответствующая последовательность значений функции _, , , , … обязана сходиться к некоторому пределу . Но тогда любая подпоследовательность этой последовательности должна сходиться к этому же пределу. Значит как подпоследовательность нечетных элементов, так и подпоследовательность четных элементов этой последовательности сходятся к . Но подпоследовательность нечетных и четных элементов представляет собой последовательности и соответственно. Отсюда следует, что . Теорема полностью доказана.

Теорема 4. Пусть функция задана на множестве , функция – на множестве и . Если существуют конечные или бесконечные пределы

, ,

то при существует предел (конечный или бесконечный) композиции функций , причем

.