4.4. Признаки существования пределов
Теорема
1. Если функция
– неубывающая и ограничена сверху, то
существует ее предел
.
Если функция
– невозрастающая и ограничена снизу,
то существует ее предел
.
На основании
данного признака доказывается
существование второго
замечательного предела
,
где
-
иррациональное число
.
Если
в равенстве положить 1/x
=a, то
при
имеем
и получаем
используем при раскрытии,
неопределенность вида
.
При решении конкретных задач на пределы могут быть полезны модифицированные варианты записи второго замечательного предела:
,
,
где
является бесконечно большой величиной,
а
- бесконечно малой величиной при
,
или при
.
Пример 1.
=
=
=
=
е×1=е.
Пример 2.
=
=
=
=
е× е×
е =
Пример 2.
=
=
=
=
=
=
=
Пример
3. Вычислить предел
.
Решение.
Этот предел
является неопределенностью
вида
.
Сделаем замену
.
Тогда
.
Приводим
дробь к виду
,
где
– бесконечно малая функция, и умножаем
и делим степень на
.
Получаем
.
Применив
второй замечательный предел, преобразуем
данный предел к виду
.
Полученный предел является неопределенностью
вида
,
поэтому умножаем числитель и знаменатель
на выражение, дополняющее знаменатель
второй дроби до разности кубов. Получаем
.
Теорема
2 (о пределе промежуточной переменной).
Пусть функции
,
,
определены в некоторой окрестности
точки
,
кроме, быть может, самой точки
и удовлетворяют неравенствам
.
Если при этом
,
тогда и
.
С
помощью теоремы о пределе промежуточной
переменной доказывается существование
первого замечательного
предела
.
Раскрытие некоторых неопределенностей
Рассмотрим
предел функции
(или
при
),
который при непосредственной подстановке
=
приходит к одному из случаев
неопределенности. Укажем приемы для
решения таких примеров, приемы «раскрытия
неопределенности».
1.Рассмотрим
предел отношения многочленов при
,
где
,
.
Для раскрытия получающейся неопределенности
необходимо вынести
в старшей степени в числителе и знаменателе
.
Если
,
то предел равен отношению коэффициентов
при старших степенях
.
Если же
>
,
то
=0.
В
случае
>
=
,
где знак бесконечности
определяется знаком коэффициента
.
Пример 6.
Здесь
было использовано, что при
величины
стремятся к нулю.
2.
Если в пределе многочлены в числителе
и знаменателе стремятся к нулю, то
получается неопределенность вида
,
для раскрытия которой надо разложить
числитель и знаменатель на множители
и сократить одинаковые бесконечно малые
величины.
Пусть
является действительным корнем кратности
многочлена, стоящего в числителе, т.е.
,
где
.
Кроме
того,
является
действительным корнем кратности
многочлена знаменателя, т.е.
,
где
.
Если
=
,
то
.
Если
>
,
то
.
Если
<
,
то
.
Пример 7.
.
Пример 8.
.
3.
Если дробь является иррациональной,
т.е. в числителе или знаменателе есть
корни, то для раскрытия неопределенности
вида
необходимо выделять в качестве множителей
бесконечно малые величины, не содержащие
радикалов, посредством умножения
числителя и знаменателя на сопряженное
выражение.
Пример 9.
Пример 10.
.
При
раскрытии неопределенности вида
для представления бесконечно малых
величин в удобном виде, не содержащем
иррациональности, необходимо умножить
и разделить на сопряженное выражение.
Пример 11.
.
Раскрытие
другого варианта неопределенности вида
требует приведения к общему знаменателю.
В результате преобразований получим
уже рассмотренный случай неопределенности
.
Пример 12.
