Вопросы для контроля:

• Какое из тел - шар или плоский диск быстрее скатятся без проскальзывания по наклонной плоскости?

• Как в общем случае вычисляется кинетическая энергия вращающегося тела?

• Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения.

• Сформулируйте теорему Штейнера.

1.8. Механика жидкостей. Уравнение Бернулли. Вязкость.

Возможны два способа описания движения жидкости. Первый способ заключается в указании положений и скоростей всех частиц жидкости для каждого момента времени. Второй способ заключается в наблюдении не за частицами, а за неподвижными точками пространства и в исследовании скоростей в этих точках в различные моменты времени. При таком подходе движение жидкости характеризуется полем скоростей , которое можно изображать с помощью линий тока.

По типу течений жидкости различают:

1. Ламинарное течение (слоистое) – такое течение, для которого траектории частиц не пересекаются, в любой момент времени момент импульса любой части жидкости равен нулю;

2. Турбулентное (вихревое) течение – такое течение, для которого момент импульса жидкости отличен от нуля;

3. Установившееся (стационарное) течение – поле скоростей стационарно,

По типу жидкостей различают: несжимаемые жидкости, для которых плотность массы постоянна - , а также вязкие жидкости, для которых внутреннее трение играет существенную роль, и невязкие (идеальные) жидкости.

Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости при стационарном течении имеет вид: , где - сечение трубки тока.

Уравнение Бернулли.

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим узкую трубку тока, рис. 12. Применим для жидкости, ограниченной этой трубкой закон сохранения энергии.

В

ычислим работу сил давления:

.

Д

Рис.12

ля приращения полной энергии получим выражение:

Приравняв выражения для работы и приращения энергии, получим:

, или - это уравнение называется уравнением Бернулли.

Без учета гидростатического давления полным называют сумму статического и динамического давлений .

Для частного случая уравнения Бернулли получается формула для скорости истечения жидкости из отверстия, называемая формулой Торричелли .

Вязкость. Течение жидкости в трубах.

Всем жидкостям, за исключением сверхтекучего гелия, присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью.

Экспериментально установлено, что модуль силы внутреннего трения, приложенной к площадке , лежащей на границе между слоями, определяется формулой , где - коэффициент вязкости, зависящий от природы и состояния (прежде всего температуры) жидкости.

Закон распределения скорости внутри круглой трубы с ламинарным течением жидкости. Формула Пуазейля.

Результирующая сила давления равна: .

На боковую поверхность действует тормозящая сила внутреннего трения .

Приравняв силу давления и силу трения, получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции : .

Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

.

Здесь постоянная интегрирования выбрана таким образом, чтобы скорость на поверхности трубы обращалась в ноль.

С помощью полученной формулы можно вычислить поток жидкости через сечение трубы.

Очевидно . Подставив выражение и проинтегрировав по от нуля до , получим:

Последняя формула называется формулой Пуазейля .

Отметим важную зависимость потока от радиуса отверстия .

Например, при уменьшении радиуса капилляра на 30% поток крови при том же давлении уменьшается почти в три раза и для его сохранения необходимо увеличить давление в три раза.

Турбулентность. Число Рейнольдса.

Рейнольдс экспериментально установил, что характер течения жидкости определяется значением безразмерного коэффициента , где: - характерный для поперечного размера потока размер, например радиус трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса течение носит характер ламинарного. Критическое значение числа Рейнольдса примерно равно .

Движение тела в жидкостях и газах.

Стокс установил, что для тел сферической формы при малых скоростях и размерах (т.е. при малых числах Рейнольдса) сила сопротивления может быть вычислена по формуле: .

Пример: “капли дождя”