1.5.2. Центр масс, импульса и тяжести

Радиус вектор центра масс определяется формально равенством: .

При этом в СО, связанной с центром масс получаем: . Например, для двух частиц имеем: , и центр масс лежит на прямой линии, соединяющей частицы. Отметим, что формально формула применима и для частиц с отрицательной массой, что бывает полезно для решения задач о телах с вырезами.

Центр импульса – это точка, обладающая следующим свойством: при произвольном вращении тела вокруг неподвижной оси проходящей через эту точку импульс тела равен нулю. Для классических частиц центр импульса совпадает с центром масс.

Этот результат легко может быть получен из формулы для центра масс путем дифференцирования по времени: =0.

Для релятивистских частиц центр импульса не совпадает с центром масс и является более фундаментальной величиной, т.к. центр импульса замкнутой системы в любой ИСО движется равномерно и прямолинейно, в то время как для центра масс это справедливо лишь для случая малых скоростей.

Центр тяжести – это точка, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на тело при любой его ориентации.

Е

Рис.8

сли ускорение свободного падения постоянно в пределах тела, то любая вертикальная плоскость, проходящая через центр тяжести, делит это тело на две части, вращательные моменты для которых компенсируются, рис.9. В этом случае центр тяжести совпадает с центром масс тела. Действительно, из равенства: , после проектирования на горизонтальную ось X получаем:

Рис.9

, или , где - вращательный момент силы тяжести относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. Центр тяжести может не совпадать с центром масс лишь в неоднородном гравитационном поле.

1.5.3. Закон сохранения энергии в механике

Энергия – фундаментальная физическая величина, выражающая наиболее общие формы движения и взаимодействия тел.

Закон сохранения энергии – это один из фундаментальных законов физики, являющийся следствием однородности времени и поэтому также как и закон сохранения импульса имеющий одинаковую силу для классических и релятивистских взаимодействий. В учебниках по теоретической механике закон сохранения энергии выводится из условия отсутствия явной зависимости лагранжиана системы от времени, но в учебниках по элементарной физике энергия вводится с помощью понятия работа.

Механической работой называется скалярная величина, равная

.

При вычислении работы различных сил выявляются два факта. Первый заключается в том, что работа, затраченная на изменение скорости тела, зависит только от начальной и конечной скорости и не зависит от распределения скорости во времени

.

Этот факт позволяет ввести кинетическую энергию тела равенством

. При этом имеет место равенство , или , называемое теоремой о кинетической энергии.

Второй факт заключается в том, что работа некоторых силовых полей не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. Например, работа силы тяжести равна ,

где x – координатная ось, направленная вниз, h – высота спуска.

Стационарные (не зависящие от времени) силы, для которых выполняется это утверждение, называются консервативными. Для таких силовых полей можно ввести потенциальную энергию тела равенством .

Последнее равенство можно переписать в виде: и, в силу произвольности приращений координат следует:

, , ,

или ^*. Это равенство можно использовать в качестве определения потенциальной энергии. Ясно, что с помощью такого определения потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы.

Неконсервативными являются диссипативные силы (трения, сопротивления), полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе отрицательна и гироскопические силы, работа которых равна нулю. Гироскопические силы (Лоренца, Кориолиса) зависят от скорости и всегда направлены перпендикулярно ей.

Дальнейший вывод закона сохранения механической энергии прост. Приравнивая выражения для дифференциала работы, получим . Отсюда следует закон сохранения энергии в механике: полная механическая энергия замкнутой системы тел взаимодействующих консервативными силами есть величина постоянная.

Пример №1. Энергия и биология. Скорость сгорания «топлива» в организме человека составляет примерно 80Вт, эта энергия тратится на поддержание работы внутренних органов. Во время лекции по физике студент дополнительно тратит 40 Вт на работу мозга. Если в аудитории холодно, необходимо дополнительно учесть 50Вт на обогрев вдыхаемого воздуха, на излучение тратится 50 - 100Вт, но учитывать это не нужно, т.к. уже учли выделение этой энергии. Примем приближенно потребляемую мощность равной 170Вт, тогда за 80 мин (4800сек) необходима энергия порядка 0.8МВт. Такое количество энергии выделится при употреблении 60г селедки, 100г хлеба или 0,4 кг яблок.

Пример №2. Энергия и автомобиль. Оценим расход топлива автомобиля, движущегося со скоростью 100км/ч.

Пусть известно, что коэффициент обтекания автомобиля равен =0.3, площадь поперечного сечения , коэффициент полезного действия двигателя внутреннего сгорания 23%, удельная теплота сгорания бензина 44Мдж/кг.

Решение: на первом этапе вычислим силу сопротивления по формуле. Подставляя исходные данные и плотность воздуха 1.29кг/м³ , получим . При равномерном движении сила тяги сила тяги двигателя должна быть чуть больше силы сопротивления (на величину трения качения и трения в механизмах). Положим силу тяги равной 550Н. Умножив величину силы тяги на скорость, получим требуемую полезную мощность,

Разделив это число на величину к.п.д., получим энергию, выделяемую в единицу времени при сгорании топлива: (примерно 90 л.с.). Разделив величину мощности на удельную теплоту сгорания, получим массу бензина, сгораемого за 1 секунду, m=1.5г/сек. За один час езды, на преодоление 100км пути будет израсходовано примерно 5.4кг, или 7литров бензина.

Пример №3. Один из изобретателей «вечного двигателя» предложил такую схему. При равноускоренном полете ракеты сила и ускорение постоянны, а приращение энергии все увеличивается и увеличивается, что видно из формулы , следовательно, чем дольше полет, тем «дешевле» достается прирост энергии. Найдите ошибку в рассуждениях.

Задача №26 (№ 1.141 из сборника задач [5]). Локомотив массы M начинает двигаться по станции так, что его скорость меняется по закону , где – постоянная, S - пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.

Решение: ; ; ;

.

Задача №27 (№ 1.142 из сборника задач [5]). Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути S по закону , где – постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от S.

Решение: ; ;

; .

Задача №28 (№ 1.160 из сборника задач [5]). Небольшое тело A начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса . Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

Решение: ; ; ;

; .

Задача №29 (№ 1.161 из сборника задач [5]). На нити длины l подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?

Решение: Точка подвеса неподвижна в своей СО:

; ;

; .

Задача №30 (№ 1.146 из сборника задач [5]). Два бруска с массами m₁ и m₂, соединенные недеформированной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен k. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску с массой m₁, чтобы другой брусок сдвинулся с места?

Решение: ; ;

; .