12

§3. Явления переноса

Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями макросистем. Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушении равновесия, носит название физической кинетики.

Если систему вывести из состояния равновесия, то через некоторое время она снова вернется в состояние равновесия, т. к. состояние равновесия является наиболее вероятным. Процесс возврата системы в состояние равновесия называется процессом релаксации. Но такой процесс является необратимым. Мы ограничимся рассмотрением явлений, возникающих в средах в тех случаях, когда отклонения от равновесия невелики. Эти явления сопровождаются переносом массы, тепла, заряда и тому подобного. Отсюда и названия этих процессов – явления переносов.

Явлениями переноса называются необратимые процессы перераспределения массы, импульса, теплоты, заряда в неоднородных системах вследствие хаотического теплового движения молекул системы.

Причиной явления переноса является неоднородность системы; способом переноса – хаотическое тепловое движение молекул.

Мерой неоднородности системы (среды) в одномерном случае является производная по координате:

- если среда неоднородна по концентрации молекул;

- если среда неоднородна по скорости упорядоченного движения слоев;

- если среда неоднородна по температуре (рис.2.23).

Рис.2.23.

Мерой переноса (т. е. следствия неоднородности) является поток. Поток – это количество какой-либо величины (числа молекул, импульса, энергии), проходящее в единицу времени через какую-то поверхность: j_m; j_p; j_q. Плотность потока – это количество какой-либо величины, проходящее в единицу времени, через единичную поверхность. Чем больше неоднородность системы, очевидно, больше плотность потока, причем поток стремится уменьшить неоднородность системы. Запишем это в виде

уравнение Фика, где j_m– плотность потока частиц, D – коэффициент диффузии­­­­, – градиент концентрации; процесс переноса называется диффузией.

уравнение Фурье, где j_q – плотность теплового потока, – коэффициент теплопроводности, – градиент температуры; процесс переноса – теплопроводность.

где j_p – плотность потока импульса,  – коэффициент вязкости или внутреннего трения, – градиент скорости направленного движения; процесс переноса – вязкость.

Выражение для внутреннего трения часто записывают по-другому

,

но ,

откуда получаем , где F – сила внутреннего трения, dS– площадь соприкасающихся слоев.

Диффузия – это явление переноса массы в среде, неоднородной по концентрации молекул.

Внутреннее трение – это явление переноса импульса в среде, неоднородной по скорости упорядоченного движения в среде.

Теплопроводность – это явление переноса тепла в среде неоднородной по температуре.

4.2. Средняя длина свободного пробега

Оценка средней скорости движения молекул в газе при нормальных условиях показывает, что она должна составлять сотни метров в секунду. Поэтому, казалось бы, что, например, проникновение запаха от капли духов должно быть практически мгновенным по всему помещению, однако, на самом деле этого не происходит – запах сравнительно медленно охватывает пространство. Объясняется это тем, что молекулы духов сталкиваются при своем движении с молекулами воздуха, в результате чего их траектория представляет собой ломаную линию. Таким образом, скорость упорядоченного (направленного) движения молекул духов оказывается значительно ниже скорости хаотического теплового движения. На это обстоятельство впервые обратил внимание Клаузиус, который и ввел понятие средней длины пробега. Это понятие лежит в основе описания явлений переноса.

За время t молекула проходит расстояние S, которое равно произведению средней скорости молекул <v> на время t. При этом молекула претерпевает Z соударений. Движущаяся молекула сталкивается при своем движении со всеми молекулами, центры которых лежат на расстоянии не больше =2r (r – средний радиус молекулы) от линии движения данной молекулы.

Рис.2.24.

Если предположить, что все молекулы газа, кроме одной, неподвижны, то число соударений можно легко оценить следующим образом. Молекула, за которой ведется мысленно наблюдение, столкнется со всеми молекулами, попадающими в ломаный цилиндр. Этот цилиндр образован отдельными участками траектории молекулы и имеет сечение ^(рис.2.24). таким образом, количество столкновений испытываемых молекулой за время t будет равно . Отсюда получаем длину свободного пробега (т. е. среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями):

.

В полученную формулу надо ввести поправку, вытекающую из учета движения всех молекул. При расчете числа столкновений вместо скорости <v> надо использовать среднее значение относительной скорости двух сталкивающихся молекул. Поскольку

,

где  – угол между направлениями скоростей и , то

.

Отсюда , т. к. .

Следовательно .

Таким образом, уточненное выражение средней длины пробега будет иметь вид

.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как можно экспериментально измерить среднюю длину свободного пробега молекул.

Берется установка, в которой из большого сосуда, содержащего, например, кислород, формируется эффузионный пучок, и на пути последнего вводятся попеременно на различных расстояниях приемника молекул. (Например, чистая поверхность металла, которая от попадания кислорода окисляется, по толщине оксидной пленки можно судить о концентрации молекул кислорода).

Таким образом, можно экспериментально измерить зависимость N(x), где – количество молекул в сечении пучка на расстоянии x, проходящих за t секунд. Опыт показывает, что N(x) имеет вид спадающей экспоненты. Очевидно, это происходит из-за того, что молекулы сталкиваясь между собой, уходят из пучка.

Число выбывающих молекул на длине dx, будет пропорционально количеству молекул N(x) и длине dx, т. е.

,

где знак минуса означает уменьшение числа частиц,  – коэффициент пропорциональности. Интегрируя это соотношение методом разделения переменных, получаем

.

График зависимости приведен на рис.2.25. Ясно, что расстояние, на котором число частиц уменьшается в «е» раз, является характерным расстоянием, т. е. как раз <>.

Таким образом, – и отсюда легко из экспериментальных данных найти <>:

.

Средняя длина свободного пробега зависит от концентрации, а значит, и от давления газа . Т. к. , то

,

т. е. .

Рис.2.25

Температурная зависимость <> при P=Const, однако, оказывается отличной от линейной. Это объясняется тем, что эффективный диаметр молекул зависит от кинетической энергии (а значит, и от Т) сталкивающихся молекул. Чем выше кинетическая энергия (а значит, и Т), тем ближе могут сойтись молекулы, т. е. тем меньше эффективный диаметр молекул. Это обстоятельство можно описать эмпирической формулой

,

где с – так называемая поправка Сезерланда (различна для разных газов). Таким образом, получаем при P=Const

Или при n=Const

.