1. Единственность нулевого вектора

Докажем, что нулевой вектор линейного пространства определен однозначно.

Предположим, что существуют два нулевых вектора: и ; имеем:

2. Единственность противоположного вектора

Докажем, что для каждого вектора существует единственный противоположный к нему вектор.

Пусть для некоторого вектора нашлись два противоположных к нему вектора: и ; тогда получим:

(заметим, что в этом выводе использованы свойства (1)-(4) из определения линейного пространства).

Теперь мы можем обозначить вектор, противоположный к вектору через .

Мы можем также ввести операцию вычитания для векторов, положив для любых двух векторов и

Вектор называется при этом разностью векторов и .

В силу единственности противоположного вектора можно утверждать, что в линейном пространстве любое уравнение вида

имеет единственное решение .

3. Результат умножения на нуль

Докажем, что для любого вектора (т.е., число 0, будучи умножено на любой вектор, дает нулевой вектор).

Действительно:

, откуда, (использованы свойства (6) и (8) из определения линейного пространства, а также предыдущее следствие).

4. Результат умножения на

Докажем, что для любого вектора (т.е., если умножить произвольный вектор на -1, то получится противоположный к исходному вектор).

Имеем:

, откуда в силу единственности противоположного вектора получаем доказываемое.

5. Результат умножения произвольного числа на нулевой вектор

Для произвольного вещественного .

В самом деле, для произвольного вектора

Следовательно, .

Заметим, что все пять следствий из аксиом линейного пространства, т.е. из свойств (1)-(8), доказаны чисто алгебраически. Для геометрических и арифметических векторов они совершенно очевидны.

1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.

Определения линейной комбинации векторов, линейно зависимых, линейно независимых систем векторов, равно как и понятия базиса и размерности, которые были даны в первом семестре применительно к геометрическим и арифметическим векторам, без всяких изменений переносятся на случай произвольного линейного пространства. Здесь эти определения и доказанные на их основе теоремы заново формулироваться не будут. Напомним, что под системой векторов понимается, как и раньше, произвольная (состоящая не менее, чем из одного вектора) конечная последовательность векторов.

Здесь же мы рассмотрим интересный пример линейного пространства без базиса, т.е. такого линейного пространства, в котором любая линейно независимая система может быть расширена без утраты свойства линейной независимости.

С этой целью возьмем пространство функций (для произвольных вещественных ) и зададим в нем систему функций для некоторого . Докажем, что эта система линейно независима для любого неотрицательного . Предположим противное - тогда для некоторого найдется нетривиальная линейная комбинация векторов указанной системы, обращающаяся в нуль. Поскольку нулевой вектор здесь - это функция, тождественно равная нулю на отрезке, то существование такой линейной комбинации равносильно тому, что многочлен , не все коэффициенты которого равны нулю, тождественно равен нулю. Разумеется, это невозможно. Отсюда следует, что заданная выше система векторов (функций) линейно независима при любом .

Определение 1.2 Линейное пространство, обладающее базисом, называется конечномерным.

Линейное пространство без базиса называется бесконечномерным.

В рамках нашего курса мы будем рассматривать только конечномерные пространства.