1.12. Линейные формы

Как мы уже знаем, линейный функционал - это линейное отображение некоторого линейного пространства в - множество вещественных чисел, рассматриваемое как одномерное арифметическое пространство. Предполагая всюду в дальнейшем, что конечномерно (), рассмотрим более подробно структуру пространства , называемого сопряженным пространством (см. п. 1.8).

Утверждение 1.17 Для всякого линейного функционала и любого произвольно фиксированного базиса в пространстве однозначно определен вектор-строка такой, что для всякого

.

Доказательство. Действительно, ,

где строка имеет вид:

,

представляя собой, очевидно, строку значений функционала на базисных векторах пространства (ее можно рассматривать как обычную в такой ситуации векторную матрицу-строку, состоящую из векторов размерности 1, т.е., просто чисел).

В сущности, строка есть не что иное, как матрица линейного оператора , принимающего значения в одномерном пространстве.

Представление линейного функционала в виде называют линейной формой.

Покажем, что на самом деле линейная форма есть разложение представляемого ею функционала по некоторому базису сопряженного пространства.

Относительно фиксированного базиса пространства введем функционалы следующим образом:

Линейность функционалов легко проверяется. Тогда произвольный линейный функционал может быть представлен в виде:

(1)

Подчеркнем, что формула (1) дает выражение для самого функционала, а не для его значения на каком-то векторе - это запись линейной комбинации функционалов из сопряженного пространства. Числа , компоненты строки образуют коэффициенты данной линейной комбинации. Значение же функционала на произвольном векторе будет тогда выражаться в виде:

Тем самым доказана теорема:

Теорема 1.7 Функционалы , образуют базис сопряженного пространства (он называется базисом, сопряженным к базису пространства ). Тем самым .

Выясним теперь, как преобразуются координаты линейного функционала в сопряженном базисе при преобразовании базиса исходного пространства .

Перепишем (1) в виде:

(2)

где .

Введем в новый базис , где - матрица перехода.

Тогда

,

откуда

(3)

или ( с учетом (2)):

(4)

Из (3) и (4) видно, что координаты ковектора (линейного функционала) в сопряженном базисе преобразуются при переходе от одного базиса исходного пространства к другому не как координаты вектора из , а как сами базисы . Эта «зеркальность» закона преобразования координат ковекторов по сравнению с законом преобразования координат самих векторов (в данном случае, элементов пространства ) и обусловила сам термин «ковектор» (двойственный, сопряженный вектор).

Обсудим теперь вопрос о линейных формах в евклидовом пространстве.

Теорема 1.8 Для любого линейного функционала , определенного на конечномерном евклидовом пространстве может быть однозначно определен такой вектор , что .

Доказательство. Согласно утверждению 1.16 имеем:

Тогда, полагая, что базис в является ортонормированным, получим, вводя вектор как , что .

Поскольку по теореме об ортогонализации (теорема 1.1, п. 1.6) любой базис евклидова пространства может быть преобразован к ортонорму (т.е., ортонормированному базису), приведенные выше рассуждения не зависят от выбора конкретного базиса.

Докажем теперь единственность вектора . Пусть для данной линейной формы существует еще какой-то вектор , такой, что . Тогда для любого

,

откуда .

Теорема доказана.

Обратим как раз внимание на инвариантность формулировки теоремы 1.8: представление линейного функционала в евклидовом пространстве как скалярного произведения некоторого постоянного вектора на переменный вектор (векторный аргумент) не зависит от выбора конкретного базиса, но следует, однако, иметь в виду, что равенство имеет место, конечно, только при разложении векторов по ортонормированному базису.

Скалярное произведение называют линейной формой в евклидовом пространстве. Геометрический смысл линейной формы состоит в том, что уравнение

(5)

определяет в геометрическое место точек, называемое линейным многообразием. В частности, при получаем плоскость в пространстве, а при - прямую на плоскости. В общем случае линейное многообразие, определенное уравнением (5), называется - мерной гиперплоскостью. Интересно заметить, что линейное многообразие, будучи некоторым подмножеством множества векторов , не является подпространством в , если только .