Избранные задачи
-
Пусть последовательность {
}
сходится и ее предел a>0.
Можно ли из {
}
выделить подпоследовательность, все
члены которой отрицательны? (не
положительны?). -
Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности {
}.
Следует ли отсюда, что а является
пределом последовательности {
}?
(Что никакая точка вне этой окрестности
не является пределом последовательности
{
}?). -
Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности {
}.
Следует ли отсюда, что а является
пределом последовательности {
}?
(Что последовательность {
}
является ограниченной?) -
Пусть последовательность {|
|}
сходится. Будет ли из этого вытекать,
что последовательность {
}
будет сходящейся? (Будет ли из этого
вытекать, что последовательность {
}
будет ограниченной?) -
Пусть последовательность {
}
сходится и М=sup{
},
m=inf{
}.
Докажите, что: либо
n такое, что
=M;
либо
k такое, что
=m;
либо
n,k такие,
что
=M,
=m. -
Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?
-
Известно, что в некоторой окрестности нуля находится бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что последовательность является бесконечно малой? (бесконечно большой? ограниченной?)
-
Пусть последовательность {
}
сходится, а {
}
расходится. Докажите, что {c
}
сходится при любом c,
{
},
расходятся. Постройте примеры,
показывающие, что последовательность
{
}
может быть как сходящейся, так и
расходящейся. -
Покажите, что для того чтобы монотонно возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
-
Покажите, что для того чтобы монотонно убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
-
Верно ли утверждение “Если последовательность неограниченна, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность”?
-
Покажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.
-
Покажите, что если монотонная последовательность является неограниченной, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
-
Пусть последовательность {
}
такова, что её подпоследовательности
,
,
сходятся. Покажите, что тогда сама
последовательность {
}
будет сходящейся. -
Пусть
,
постройте такую последовательность
{
},
из которой можно выделить две
подпоследовательности
и
,
одна из которых сходится к
,
а вторая - к
. -
Постройте такую последовательность {
},
из которой для любого рационального
числа r можно выделить
подпоследовательность
,
сходящуюся к r. -
Будет ли последовательность, удовлетворяющая условиям задачи 2, ограниченной?
-
Можно ли построить такую последовательность {
},
из которой для любого действительного
числа а можно выделить
подпоследовательность
,
сходящуюся к а? -
Покажите, что из любой ограниченной последовательности {
}
можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. -
Верно ли утверждение ‘Пусть при всех n
и последовательности {
}
и {
}
ограничены. Тогда, каковы бы ни были
сходящиеся последовательности
и
,
то
”? -
Существует ли такая последовательность {
},
что из любой её подпоследовательности
можно выделить сходящуюся частичную
подпоследовательность
? -
Существует ли такая последовательность {
},
что из любой её подпоследовательности
можно выделить неограниченную частичную
подпоследовательность
? -
Существует ли такая последовательность {
},
что из любой её подпоследовательности
можно выделить как сходящуюся частичную
подпоследовательность так и неограниченную
частичную подпоследовательность? -
Пусть из любой подпоследовательности
последовательности {
}
можно выделить сходящуюся частичную
подпоследовательность
.
Покажите, что исходная последовательность
{
}
будет ограниченной. -
Пусть из любой подпоследовательности
последовательности {
}
можно выделить частичную подпоследовательность
,
сходящуюся к
.
Покажите, что исходная последовательность
{
}
будет сходиться к
. -
Для того чтобы последовательность {
}
сходилась к
необходимо и достаточно, чтобы из любой
подпоследовательности
последовательности {
}
можно выделить частичную подпоследовательность
,
сходящуюся к
. -
Из сходящейся последовательности {
}
произвольным образом выбираем бесконечное
число членов {
}
Покажите, что из любой подпоследовательности
последовательности {
}
можно выделить частичную последовательность
,
сходящуюся к
. -
Из сходящейся последовательности {
}
произвольным образом выбираем бесконечное
число членов {
}
Покажите, что последовательность {
}
сходится. Найдите предел этой
последовательности.