Допустим, что область проникновения деформации мала, позволяет заметить сильно деформируемую область шара (рис.7)

Цилиндром радиуса r (радиус площади соприкосновения в момент максимальной деформации) и высоты hr (глубина проникновения деформации). В процессе деформации возникает сила, подобная силе упругости пружины, стремится вернуть шар в недеформированное состояние.

r

r R

X

Рис.4

Обозначим величено максимальной деформации шара через х максимальную силу упругости f шара можно определить из закона упругости деформации:

(15)

т.к. – жесткость шара (определяется материалом и геометрическими размерами шара) Е – модуль Юнга, L ̴r, S=r² площадь пятна контакта шаров в момент максимальной деформации (рис.5). Из рисунка видно, что BD=X, BO=OG=R, AD=r

A

B D G

O

Рис.5

Предположим, что шар прогнулся только на участке АВG. Так как ΔABD подобен ΔADG, можно записать:

(16)

Поскольку величена х<<R, то из (16)

Отсюда сила упругости:

(17)

В момент остоновки шара вся кинетическая энергия Е_кин, переходит в потенциальную энергию упругой деформации Е_пот, т.е.

(18)

Масса шара может быть вычислена по формуле (– плотность вещества шара). Отсюда:

(19)

Подставляя это выражение в формулу (18), получим:

(20)

Найдем из этого выражения максимальную деформацию шара:

(21)

Где - скорость звука в веществе шара.

С другой стороны:

(22)

Время соударения Δt можно оценить из уравнения движения.

Второй закон Ньютона в Импульсной форме:

(23)

Или в проекции на ось Х:

(24)

Где – изменение импульса шара за время соударения Δt (конечный импульс шара в момент максимальной деформации равен нулю). Отсюда:

(25)

Как Видно из (25), время соударения шаров прямо пропорционально радиусу R шаров и обратно пропорционально корню пятой степени из скорости шаров V в момент соударения. Подставив из (10) значение скорости шара в момент удара V, получим формулу для вычисления времени соударения как функцию  – угла отклонения нити подвеса от вертикали:

(26)

U=2030 м/с

Из формулы (28) видно, что для шаров одинакового радиуса, время соударения Δt буден увеличиваться с уменьшением угла отклонение нити подвеса . А для шаров разного радиуса, отклоненных на одинаковый угол, время соударения Δt будет увеличиваться с увеличением их радиусов.

Практическая оценка времени соударения шаров

Метод основан на измерении потенциалов на обкладках конденсатора известной емкости при его разряде через резистор заданного сопротивления. Пусть в момент времени t разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U, а заряд, соответственно , где С – емкость конденсатора. При разряде конденсатора за бесконечно малый промежуток времени dt его заряд уменьшился на величину:

Разрядный ток, по определению равен

Поскольку падение напряжения на разрядном резисторе равно разности потенциалов на обкладках конденсатора, запишем:

(27)

где знак "-" учитывает, что dU<0.

Из (1) следует:

(28)

Интегрируя (2), получим:

(29)

Постоянную интегрирования С₁ определим из начальных условий. В момент времени t=t₀=0 разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U₀, поэтому:

, то есть следовательно:

(30)

Таким образом, разность потенциалов на обкладках конденсатора убывает по экспоненциальному закону.

Точность измерения времени разряда будет тем выше, чем больше будет измерение разности потенциалов за один и тот же промежуток времени.

Предположим, что в начале разряда (t=0) разность потенциалов равна U₀, а к моменту времени t, U. Средний за время разряда ток равен:

(31)

с другой стороны, по закону Ома:

(32)

решая совместно (31) и (32) , получим:

(33)

При вычислении удобно пользоваться эквивалентным соотношением:

(34)

Где n₀ и n – номера деления шкалы прибора, соответствующие показанием вольтметра до и после соударения шаров.

Расчетное соотношение (34) получено в предположении, что разность потенциалов на обкладках конденсатора за время удара мало измеряется. Если же эти изменения относительно велики (больше 10%), для расчетов следует пользоваться по (30) соотношением:

(35)

Электрическая часть прибора состоит из источника стабильного постоянного напряжения Е_0, конденсатора С, разрядного резистора R и вольтметра V с большим входным сопротивлением. В разрядную цепь включены шары, при контакте которых происходит разряд конденсатора через резистор (см. рис.).

Если при разомкнутых шарах установить тумблер Т в левое положение конденсатор зарядится до напряжения U₀ источника. Затем тумблер переводится в правое положение и осуществляется соударение шаров. За время удара происходит разряд конденсатора через резистор R. Разность потенциалов на обкладках конденсатора U после удара фиксируется вольтметром. Определив значение разности потенциалов до и после соударение, по (8) рассчитываем время соударения шаров.

Расчет погрешности проводился для серии экспериментов по формуле: