Множества мощности континуума

Итак, мы познакомились с одним типом бесконечных множеств – счетными множествами. А есть ли другие типы бесконечных множеств, т.е. также бесконечных, но не являющихся счетными. Оказывается, есть.

Теорема. Отрезок [0,1] есть бесконечное несчетное множество.

Доказательство этой теоремы будем вести методом от противного. Напомним, в чем его суть: некоторое утверждение А истинно тогда и только тогда, когда противоположное ему утверждение ложно

Поэтому, вместо того, чтобы доказывать, что А=истина, доказывают, что

Доказательство

То, что отрезок [0,1] есть бесконечное множество – очевидно.

1. Предположим противное, т.е. то, что отрезок [0,1] есть счетное множество. Тогда все его точки можно представить в форме последовательности ,обратите внимание на слова “все его точки”.

2. Поставим каждой точке в соответствие вещественное число, согласно описанной выше процедуре. Ясно, что все эти числа будут иметь знак + и их цифра перед запятой будет равна 0.

Обратите внимание на индексацию цифр. Чему соответствует верхний индекс и что определяет нижний индекс?

3. Построим число .

по следующему правилу:

а) его знак +, перед запятой стоит 0

б) первая цифра после запятой – любая, кроме .

в) вторая цифра после запятой – любая, кроме .

…………………………………

г) вообще, n-ая цифра после запятой – любая, кроме .

Обратите внимание, что при построении снова был использован прием диагонализации. Требование связано с запретом на числа вида

4. Что же хорошего можно сказать о точке, соответствующей числу ?

а) во-первых ясно, что: об этом говорит то, что перед запятой стоит комбинация +0.

б) но, с другой стороны, ; ; … Вообще, для любого n .Поэтому .

Вот тут и кроется противоречие. Ведь в п.1 предполагалось, что в последовательностиперебраны все точки интервала[0,1]. И вдруг оказалась еще одна точка из этого же интервала, которой нет в этой последовательности. Получившееся противоречие доказывает нашу теорему. 

Определение. Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума .

Теорема. Отрезки (а,в),(а,в],[а,в) также имеют мощность континуума .

Доказательство

Формула y=a+x(b-a) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между.

Рассмотрим отрезок (a,b). Отрезок [a,b] получается из (a,b) добавлением всего лишь двух точек: а и b. Как мы уже знаем, от добавления к бесконечному множеству конечного числа элементов его мощность не меняется. Поэтому отрезки (a,b) и [a,b] имеют одинаковую мощность, а т.к. [a,b] имеет мощность континуума, то и (а,b) имеет мощность континуума.

Покажите сами, что вся прямая имеет мощность континуума (установив, например, взаимно-однозначное соответствие отрезков (-1,1) и , ) .

Следствие Множество вещественных чисел имеет мощность континуума.

Вспомним, что счетное множество – самое “маленькое” из всех бесконечных множеств. Поэтому можно сказать, что вещественных чисел гораздо больше, чем рациональных – ведь вещественных чисел континуум, а рациональных – всего лишь счетное множество.