§8. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики

Пусть F(х1, х2, …, хп) – произвольная функция алгебры логики п переменных.

Рассмотрим формулу

F(1,1,…,1)&х1&х2&...&хп F(1,1,...,1,0)&х1&х2&…&хп-1&п

F(1,1,...1,0,1)& х1&х2&...&хп-2&п-1& хп …F(0,0,...,0)&1&

&2 &…&п (1)

которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции F при некоторых определённых значениях переменных х1, х2, …, хп, остальные же члены конъюнкции представляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те, и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0.

Ясно, что формула (1) полностью определяет функцию F(х1, х2, …, хп). Иначе говоря, значения функции F и формулы (1) совпадают на всех наборах значений переменных х1, х2, …, хп.

Если функция F(х1, х2, …, хп) задана таблицей истинности, то соответствующая ей формула алгебры логики может быть получена просто. Действительно, для каждого набора значений переменных, на котором функция F(х1, х2, …, хп) принимает значение 1, запишем конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции хк, если значение хк на указанном наборе значений переменных есть 1 и отрицание хк, если значение хк есть 0. Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет искомой формулой.

Пусть, например, функция F(х1, х2, х3) имеет следующую таблицу истинности:

х1	х2	х3	F(х1, х2, х3)
1	1	1	0
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	1	0	1
0	0	1	0
0	0	0	1

Для наборов значений переменных (1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,0,0), на которых функция принимает значение 1, запишем конъюнкции х1&х2&3, х1&2&х3, 1&х2&3, 1&2&3, а искомая формула, имеет вид:

х1&х2&3 х1&2&х3 1&х2&3 1&2&3

С формулами связаны следующие понятия:

1. ДНФ- дизъюнктивная нормальная форма;

2. КНФ- конъюнктивная нормальная форма;

3. Элементарная дизъюнкция(конъюнкция).

Задание[2]стр. 170- 205.

1. Разобраться с формулами и понятиями ДНФ,КНФ, элементарная дизъюнкция(конъюнкция).

2. Решить задачи из[2] по вариантам согласно журнальному списку и сдать мне листки с решениями. Стр. 199 Упр. 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.23, 4.24,

Заключение

Логика необходима в любой формальной дисциплине и состоит из правил получения обоснованного вывода (заключения). В данном пособии сделан акцент на логике, лежащий в основе неоспоримых рассуждений и доказательств. Рассмотрена логика высказывания, имеющая дело с истинностью (или ложностью) простых описательных утверждений, а так же приведены логические операции над высказываниями в виде таблиц истинности. Сложные высказывания представлены в виде формул алгебры логики, значение которых полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний.

Литература

1. Я. М. Ерусолимский. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. – М.: Вузовская книга, 2001.

2. М. С. Спирина, П. А. Спирин. Дискретная математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.