§3. Формулы алгебры логики

С помощью логических операций над высказываниями можно строить раз­личные новые, более сложные высказывания. Обычно при этом порядок опе­раций указывается скобками. Определим понятие формулы логики высказываний. Первой частью любой формальной системы является ее язык. Чтобы определить язык, нужно прежде всего определить алфавит и его символы.

Алфавитом будем называть любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Любая конечная после­довательность символов алфавита называется словом, или выражением, дан­ного языка. Алфавит логики высказываний содержит такие символы: выска­зывания — буквы латинского алфавита с индексом или без него, логические

связки ^, v, —>, <->, - , разделители (,).

Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям;

1. Любое высказывание (высказывательное переменное) — формула.

2. Если А и В формулы, то не А, А ^ В, A v В, А —> В, А <-> В — тоже фор­мулы.

Подформулой формулы А называется любое подслово А, само являющееся формулой. Таким образом, из приведенного формального определения фор­мулы как определенной конструкции языка алгебры логики можно опреде­лить более простое понятие формулы.

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементар­ных высказываний с помощью логических связок, называется формулой ал­гебры логики.

Формулы алгебры логики обозначаются большими буквами латинского ал­фавита A, В, С,.., При этом скобки можно опускать, придерживаясь следую­щих правил: конъюнкция выполняется прежде всего, дизъюнкция выполня­ется второй, импликация и эквиваленция равноправны и выполняются последними. Каждая формула алгебры логики принимает свое логическое значение, которое определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. Например, составим таблицу истинности для

формулы (X ->Y)-> (X^ v ->). Получим табл.

X	У			X ^ У _ У	X^ v	X^ v ->	X v У	Итог
1	1	0	0	0	0	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	0	1	0
0	0	1	1	0	1	1	0	1

Если формула состоит из п элементов, то ее таблица истинности состоит

из 2" строк.

Приписывание значений истинности или ложности высказываниям, входя­щим в формулу, называется интерпретацией этих высказываний. Под интер­претацией формулы понимается приписывание значений истинности выска­зываниям, входящим в эту формулу.

С помощью логических операций над высказываниями из заданной совокупности высказываний можно строить сложные различные высказывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками.

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности, называется формулой алгебры логики.

Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, С, …

Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквиваленция. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.

Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в неё элементарных высказываний.

Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в неё элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.

Если формула содержит п элементарных высказываний, то она принимает 2 значений, состоящих из нулей и единиц, или, что то же, таблица содержит 2 строк.