Вычисление значений показательной функции

Для экспоненциальной функции e^x справедливо разложение

, (5.9)

интервал сходимости которого - < x + . Остаточный член ряда имеет вид

(5.10)

При больших по модулю значениях х ряд (5.9) мало пригоден для вычислений. Поэтому поступают следующим образом: пусть

(5.11),

где Е(х) – целая часть числа х и 0  q < 1 – дробная его часть. Имеем

(5.12)

Первый множитель е^Е может быть получен умножением:

, если Е > 0

или , если Е< 0.

е или берут с достаточной точностью, т.е. погрешность в определении е или <<  - заданной точности:

е = 2, 718281828459045

= 0,36787944117442

Второй множитель в (5.12) е^q вычисляется с помощью разложения (5.9)

, (5.13)

которое при 0 q < 1 образует быстро сходящийся ряд.

Для остаточного члена R_n (q) получаем оценку из (5.10).

Так как , то при  = 1 и q = 1

Последующие вычисления ведутся аналогично вычислениям при нахождении суммы ряда.

Вычисление значений логарифмической функции

Для натуральных логарифмов чисел, близких к единице, справедливо разложение

. (5.14)

Формула (5.14) малопригодна для вычислений, так как диапазон чисел 0 < 1 + x  2 не велик и, кроме того, при , близком к единице, ряд (5.14) сходится медленно.

Существует более удобная формула для вычисления натуральных логарифмов. Выведем ее.

Заменяя х в формуле (5.14) на –х, будем иметь

(5.15)

Вычтем почленно (5.15) из (5.14)

или .

Сделаем замену

, или .

Тогда

(5.16)

при 0 < z < +.

Пусть х – положительное число. Представим его в виде

,

где m – целое число и . Тогда, полагая

, где , и применяя формулу (5.16), имеем

(5.16)

где

При имеем и поэтому

(5.17)

или, более грубо,

.

Число членов п находится из соображений, приводимых раньше при вычислении суммы рядов.

Пример. Найти ln 3 с точностью до 10^-5.

Решение. Вычисления будем производить с двумя запасными знаками. Положим .

Отсюда z = 0,75 и

Имеем

Используя формулу (5.16) и учитывая, что ln 2 = 0,69314718, получаем

ln 3 = 2  0,69314718 - 2  0,1438410 = 1,09861.

Замечание 1. Можно также вычислять натуральные логарифмы чисел, исходя из представления

,

где Р – целое число и .

Замечание 2. Для вычисления десятичных логарифмов используется формула

,

где

Вычисление значений синуса и косинуса.

С помощью формул приведения аргумент х можно заключить в промежуток: . Если , то имеем:

. (5.18)

Eсли же , то полагают:

, (5.19)

где и .

Сумму ряда (5.18) удобно вычислять суммированием

, (5.20)

где слагаемые последовательно находятся с помощью рекуррентного соотношения:

Т.к. ряд (5.18) знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то на основании теоремы, приведенной выше, справедлива оценка

;

.

Как только будет обнаружено, что , процесс суммирования можно прекратить; e - заданная остаточная погрешность.

Аналогично ,

где ,

;

.

Вычисление значений гиперболического синуса

Как известно,

,

причем ,

т.е. функция sh x - нечетная.

Для гиперболического синуса справедливо разложение

.

Предполагая, что х > 0, вычисления удобно производить суммированием:

,

где и R_n – остаточный член. При имеем:

так как при .

Очевидно, что при .

Поэтому , то есть .