17. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

При рассмотрении какого-либо явления бывает необходимо установить зависимость одной величины от другой, например, зависимость у от х. То есть необходимо найти функцию .

Однако в ряде случаев установление явной зависимости оказывается невозможным, но имеется зависимость между величинами , ее производными и, возможно, аргументом , т.е. можно написать такое уравнение

(,,,,…,⁽ⁿ⁾) = 0. (1)

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . Символически дифференциальное уравнение может быть записано в виде:

() = 0. (2)

Записи (1) и (2) равнозначны.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция есть функция одного независимого аргумента.

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Так, например, уравнение

^׀+=2

Является уравнением 1-го порядка.

Уравнение ^׀׀׀-5^׀׀+17^׀-13=^v׀ есть уравнение 6-го порядка.

Определение: Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своими производными, обращает его в тождество относительно .

Пример. Для уравнения первого порядка

функции и вообще функции вида являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянной . В этом легко убедиться, подставив указанные функции в уравнение.

Решать дифференциальные уравнения мы начнем на примерах уравнений первого порядка.

1. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

') = 0 . (17.1)

Разрешив его относительно ', если это возможно, мы можем написать

' = . (17.2)

В этом случае говорят, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция, которая зависит от одного произвольного постоянного и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному при любом конкретном значении постоянного ;

б) каково бы ни было условие при , т.е. , можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

В ходе поиска общего решения часто приходят к соотношению вида

(17.3)

которое называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Если это выражение такое, что может быть найдена функция то возможно нахождение общего решения. Если же функцию у(х) в явном виде выразить не удается, то удовлетворяются общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , которая получается из общего решения

, если в последнем произвольному постоянному придать определенное значение . Соотношение же , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Методы решения дифференциального уравнения.

Их можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения. Одним из них, в частности, является метод изоклин для решения дифференциального уравнения первого порядка вида

'=.

Он основан на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определенному изоклинами (см. ниже).

Аналитические методы применяются для решения ограниченного круга дифференциальных уравнений, для которых существуют разработанные методы решения. Решения получаются в виде формул в результате аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обыкновенного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач. Наиболее распространенным и универсальным является метод конечных разностей: область непрерывного изменения аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции.

Таким образом решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Простейшим численным методом решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. Его геометрическая интерпретация тесно связана с понятием поля направлений или поля так называемых изоклин. Последнее, в свою очередь, тесно связано с геометрическим представлением общего решения дифференциального уравнения.

Рассмотрим решение дифференциального уравнения

'.

Мы убедились, что его общим решением является функция .

Если принять , т.е. , мы пол учим уравнение гиперболы. Построим штрих-пунктиром график этой функции.

Вспомним, что '(,) есть не что иное, как тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке (,). Выбрав ряд точек (₁,₁), (₂,₂),…,(_n,…,_n) на плоскости , лежащих на кривой у = , в каждой из них проведем касательную к этой кривой. При этом для каждой касательной справедливо равенство

' . (17.4)

В результате мы видим, что дифференциальное уравнение для частного решения дает последовательность касательных, проведенных к кривой, являющейся решением данного уравнения.

Следовательно, для решения дифференциального уравнения достаточно построить в каждой точке плоскости отрезок прямой (касательную), угол наклона которой соответствует дифференциальному уравнению '. Совокупность таких отрезков, или направлений, определяет поле направлений . (При этом геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение , называется изоклиной данного дифференциального уравнения).

Проведя далее любую кривую в плоскости , не пересекающую ни в одной точке ни один из построенных отрезков прямых, мы получим кривую, являющуюся решением данного дифференциального уравнения. Очевидно, что таких кривых можно построить бесконечное множество. Совокупность этих кривых и представляет общее решение данного дифференциального уравнения. Частным решением является кривая, проходящая через точку .

Пример: Найдем решение дифференциального уравнения

'

с помощью описанного способа.

Сделаем очевидные преобразования, исходя из геометрического смысла производной:

'; .

После этого заполним таблицу, с помощью данных которой построим в плоскости совокупность отрезков с описанными выше свойствами, т.е. поле направлений.

х	cosx
0	1
	0
	-1
3	0

Приведенные рисунок и таблица поясняют последовательность построения поля направлений. Из рисунка видно, что решением дифференциального уравнения должна явиться функция , в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям, проводим кривую через точку ().

Таким образом, обобщая результаты рассмотрения разобранных примеров, мы можем заключить, что с геометрической точки зрения общий интеграл (общее решение) представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одного параметра . Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.

Частному интегралу (или частному решению) соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через заданную точку плоскости (), определяемую начальными условиями.

Задача отыскания общего решения дифференциального уравннения с последующим выделением частного решения, соответствующего данным начальным условиям, называется задачей Коши.

В численных методах мы будем заниматься исключительно решением задачи Коши.

Метод Эйлера основан на разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков.