Решение это приводим:

Проведем решение данной задачи численно с помощью рассмотренных выше методов. Результаты решений приведены в таблице. Из нее видно, что самым точным является решение, полученное методом Рунге-Кутта.

Видно, что при большом числе узлов метод Эйлера может привести к заметным погрешностям, в таких случаях предпочитают пользоваться численными методами высших порядков.

	Метод Эйлера	Метод Эйлера с пересчетом	Метод Рунге-Кутта	Точное решение
0,1	12000	1,2210	1,2221	1,2221
0,2	1,4420	1,4923	1,4977	1,4977
0,3
0,4	2,1041	2,2466	2,2783	2,2783
0,5
0,6	3,1183	3,4176	3,5201	3,5202
0,7
0,8	4,6747	5,2288	5,4894	5,4895
0,9
1,0	7,0472	8,0032	8,5834	8,5836

В учебной литературе можно встретить различные модификации метода Рунге-Кутта. Рассмотренный нами метод называется метод Рунге-Кутта 4^го порядка точности.

Погрешность этого метода на шаге h равна

( s-число коэффициентов в формуле).

У нас s=4, поэтому можно написать, что Погрешность вычисления в конце n ^го (интервала) шага

.

Наиболее употребительным одношаговым методом является метод Рунге-Кутта.

Метод Адамса.

Пусть требуется решить уравнение '.

Одним из разностных методов приближенного решения этой задачи является метод Адамса.

Задавшись шагом изменения аргумента, исходя из начальных условий , находят следующие три значения искомой функции :

.

(Эти три значения можно получить любым методом, обеспечивающим нужную точность: методом Рунге-Кутта, с помощью разложения решения в степенной ряд и т.д., но не методом Эйлера ввиду его недостаточной точности).

С помощью чисел вычисляют величины

q₀'

q₁'

q₂'

q₃'

Далее составляют таблицу конечных разностей величин y и q.

		Δ	q	Δq	Δ2q	Δ3q
			q0
		Δ		Δq0
			q1		Δ2q0
		Δ		Δq1		Δ3q0
			q2		Δ2q1
		Δу2		Δq2
			q3

По формуле Адамса (Ньютона?) находим Δ

Δ=q₃+Δq₂ +Δ²q₁+Δ³q₀ ,

зная числа q₃, Δq₂, Δ²q₁, Δ³q₀ в нижней косой стороне таблицы

После этого можно найти =+Δ.

Зная теперь , вычисляют, q₄ после чего может быть написана следующая косая строка: Δq₃ = q₄ - q₃, Δ²q₂ = Δq₃ - Δq₂, Δ³q₁ = Δ²q₂ - Δ²q₁.

Новая косая строка позволяет нам вычислить по формуле Адамса значение Δ

Δ= q₄+Δq₃ +Δ²q₂ +Δ³q₁,

а следовательно, и Δ и т.д.

Пример: Используя метод Адамса, найти значение с точностью до 0,01 для

дифференциального уравнения '= .

Решение: Найдем первые четыре члена разложения решения данного уравнения в ряд Тейлора в окрестности точки

''''''

Согласно условию значения '''''' находим, последовательно дифференцируя данное уравнение:

,

''

''''²+2

Таким образом,

Вычисляем в точках с одним запасным (третьим) знаком: ₁=(0,1)=­1+0,1­0,01+0,001=­0,9087≈­0,909 ; ₂=(0,2)=­1+0,2­0,04+0,008=0,211­1,040=­0,829;

₃=­1+0,3=­0,09+0,027=­1,09+0,3360=­0,7540.

Составим таблицу:

		Δ	q	Δq	Δ2q	Δ3q
0	­1		0,1
		0,091		­0,017
0,1	­0,909		0,083		0,006
		0,080		0,011		­0,002
0,2	­0,829		0,072		0,004
		0,075		­0,007
0,3	­0,754		0,065

Здесь q₀=0,1=0,1(0+1)=0,1,

q₁=0,1()=0,1(0,01+0,909²)=0,1(0,01+0,826)0,083,

q₂=0,1()=0,1(0,04+0,829²)=0,1(0,04+0,68)0,072,

q₃=0,1()=0,1(0,09+0,754²)=0,1(0,09+0,568)0,065.

Теперь можно вычислить Δ=q₃+Δq₂+Δ²q₁+Δ³q₀=0,065+(­0,007)+·0,004+·(­0,002)=0,062.

Следовательно, =+Δ≈­0,754+0,062=­0,692≈­0,69.

(*) Оценка погрешности по А.С. Бахвалов и др. Численные методы, м. 1987г.