Запишем это разложение в виде

. (17.5)

Заменим значения функции Y(x) в узлах значениями сеточной функции .

Кроме того, используя решаемое уравнение

, полагаем

.

Для простоты будем считать узлы равноотстоящими,

т.е. Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка , из равенства (17.5) получаем:

(17.6)

Полагая =0, с помощью соотношения (17.6) находим значение сеточной функции , при : .

Значение у₀ задано начальным условием задачи Коши

У(х₀)=У₀.

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

,

---------------------------

.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке, где изображено

поле интегральных кривых. Использование только первого члена формулы Тейлора означает движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней.

На рисунке изображены первые два шага, т.е. показано вычисление сеточной функции в точке . Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения . При этом кривая соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку . Точки получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую.

Отрезок - отрезок касательной к кривой в точке , ее наклон характеризуется значением производной '. Касательная проводится уже к другой интегральной кривой 1. Видим, что на каждом шаге погрешность увеличивается. Эта погрешность имеет порядок , так как члены именно такого порядка отброшены из разложения в ряд Тейлора.

При нахождении решения в точке , отстоящей на расстоянии L от точки , погрешность суммируется и равна . Вспоминая, что , для суммарной погрешности получаем выражение

. (17.7)

Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Метод Эйлера с пересчетом.

Если в уравнении (17.6)

вместо взять среднее арифметическое от и

то вместо разностной схемы (17.6) мы получим:

(17.8)

Полученная схема получилась неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения. Так как точного значения мы не можем знать, то вместо него мы можем взять его приближение , вычисляемое по формуле (17.6)

. (17.9)

Подставив вместо в (17.8), получим новое выражение для вычисления

. (17.10)

Последние рекуррентные соотношения представляют метод Эйлера с пересчетом. Этот метод имеет второй порядок точности. На рисунке дана геометрическая интерпретация первого шага вычислений при решении задачи Коши методом Эйлера с пересчетом.

777777&&&&&uuUUU

Касательная к кривой в точке проводится с угловым коэффициентом

'.

С ее помощью методом Эйлера найдено значение, которое используется затем для определения наклона касательной в точке . Отрезок с таким наклоном заменяет первоначальный отрезок касательной от точки до точки .

В результате получается уточненное значение искомой функции в этой точке.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Метод Рунге-Кутта. Очевидно, что значение , полученное с помощью метода Эйлера менее точно, чем , полученное по схеме с пересчетом. Но схема с пересчетом может быть тоже улучшена. Сегодня наиболее оптимальным с точки зрения компромисса между объемом вычислений и достигаемой точностью считается метод Рунге-Кутта. Алгоритм этого метода записывается в виде

.

Видим, что метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения 'Для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.

Рассмотрим результаты решения примера различными методами.

Пример. Решить задачу Коши

Решение. Можно решить это уравнение аналитическими методами. Для сравнения