Метод Гаусса.

Этот метод является наиболее распространенным. Он называется также методом последовательного исключения неизвестных. Рассмотрим для простоты систему линейных алгебраических уравнений четвертого порядка

(16.7)

Предположим, что a₁₁  0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение системы на a₁₁, получим

, (16.8)

где .

Пользуясь уравнением (16.8), исключим из системы неизвестную x₁. Из второго уравнения x₁ исключается следующим образом. Умножим уравнение (16.8) на коэффициент a₂₁:

(16.9)

Последнее уравнение вычтем из второго уравнения системы:

или ,

где .

Проделав эти же операции с третьей и четвертой строками исходной системы, мы получим новую систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(16.10)

где .

Допустим теперь, что ведущий элемент второй строки, т.е. коэффициент тоже отличен от нуля. Тогда, разделив на него первое из уравнений (16.10), получим уравнение

, (16.11),

где .

Исключив с помощью уравнения (16.11) неизвестную x₂ из двух последних уравнений в (16.10), приходим к следующей системе из двух уравнений с двумя неизвестными

(16.12),

где .

Теперь, если ведущий элемент и третьей строки не равен нулю, то, поделив на него первое из уравнений (16.12) и вычтя полученное уравнение, умноженное на , из второго уравнения, получим

до вычитания

, (16.13),

после вычитания

, (16.14),

где .

И, наконец, если  0, то, разделив на него (16.14), приведем к виду

, (16.15),

где .

Итак, если ведущие элементы не равны нулю, то исходная система эквивалентна следующей системе с треугольной матрицей:

(16.16)

Из системы (16.16) неизвестные x₁, x₂, x₃, x₄ находятся в обратном порядке по формулам

(16.17)

Процесс приведения исходной системы к треугольному виду называется прямым ходом, а нахождение неизвестных по формулам (16.17) – обратным ходом метода Гаусса.

Поясним ход решения уравнения на примере заполнения таблицы 16.1. Прямой ход начинается с выписывания коэффициентов системы, включая свободные члены (раздел А). Последняя строка раздела представляет собой результат деления первой строки раздела на «ведущий элемент» a₁₁. Элементы следующего раздела схемы (А₁) равны соответствующим элементам предшествующего раздела без произведения их «проекций» на первый столбец и последнюю строку раздела А.

Последняя строка раздела А₁ находится путем деления первой строки раздела на «ведущий элемент» первой же строки. Аналогично строятся следующие разделы. Прямой ход заканчивается, когда мы дойдем до раздела, состоящего из одной строки, не считая преобразованной (в нашем случае А₃).

При обратном ходе используются лишь строки разделов, содержащие единицы (отмеченные строки).

Для контроля вычислений используются так называемые «контрольные суммы»

, (16.18)

помещенные в столбце  и представляющие сумму элементов строк матрицы исходной системы (16.7), включая свободные члены.

Если принять за новые свободные члены в системе (16.7), то преобразованная линейная система

или

будет иметь неизвестные , связанные с прежними неизвестными x_j соотношениями

.

Поэтому, если над контрольными суммами в каждой строке производить те же операции, что и над остальными элементами этой строки, то при отсутствии ошибок в вычислениях элементы столбца  равны суммам элементов соответствующих преобразованных строк. Этот момент служит контролем прямого хода.

Обратный ход контролируется нахождением чисел , которые должны совпадать с числами x_j + 1.

Таблица 16.1

Схема единственного деления

х1	x2	x3	x4	Свободные члены		Разделы схемы
a11 a21 a31 a41 1	a12 a22 a32 a42	a13 a23 a33 a43	a14 a24 a34 a44	a15 a25 a35 a45	a16 a16 a16 a16	A
	1					A1
		1				A2
			1	(x4)		A3
				x4 x3 x2 x1		B

Пример. Решить систему

(16.19)

Решение. В раздел А таблицы 16.2 впишем матрицу коэффициентов системы, ее свободные члены и контрольные суммы. Далее заполняем последнюю (пятую) строку раздела А, деля первую строку на 7,9 (на a₁₁).

Переходим к заполнению раздела А₁ таблицы. Взяв любой элемент раздела А (не находящийся в первой строке), вычитаем из него произведение первого элемента его строки на последний элемент столбца, к которому он принадлежит (т.е. на элемент, принадлежащий в этом столбце отмеченной (выделенной) строке), и записываем в соответствующем месте раздела А₁ схемы. Например, выбрав a₄₃ =-8,9, найдем :

.

Чтобы получить последнюю строку раздела А₁, делим все члены первой строки этого раздела на . Например, .

Аналогично заполняются остальные разделы таблицы. Например,

.

Для нахождения неизвестных используем строки, содержащие единицы, начиная с последней (отмеченные строки). Неизвестное x₄ представляет собой свободный член последней строки раздела А₃:

.

Значения остальных неизвестных x₃, x₂, x₁ получаются последовательно в результате вычитания из свободных членов отмеченных строк суммы произведений соответствующих коэффициентов на ранее найденные значения неизвестных.

Имеем:

Итак, x₁ = 0,96710; x₂ = 0,12480; x₃ = 0,42630; x₄ = 0,56790.

Текущий контроль вычислений осуществляется с помощью столбца , над которым производятся те же действия, что и над остальными столбцами.

Таблица 16.2

Решение системы по схеме единственного деления

x1	x2	x3	x4	Свободные члены		Разделы схемы
7,9 8,5 4,3 3,2	5,6 -4,8 4,2 -1,4	5,7 0,8 -3,2 -8,9	-7,2 3,5 9,3 -3,3	6,68 9,95 8,6 1	18,68 17,95 23,2 -2,8	1 2 3 4	А
1	0,70886	0,72152	-0,91139	0,84557	2,36456	1
	-10,82531 1,15190 -3,66835	-5,33292 -6,30254 -11,20886	11,24682 13,21898 6,21645	2,76265 4,96405 -1,70582	-2,14876 13,03239 -10,36658	2 3 4	А1
	1	0,49263	-1,03894	-0,25520	0,19849	2
		-6,8700 -9,40172	14,41573 2,40525	5,25801 -2,64198	12,80374 -9,63845	3 4	A2
		1	-2,09836	-0,76536	-1,86372	3
			-17,32294	-9,83768	-27,16062	4	A3
			1	0,56790	1,56790	4
				0,56790 0,42630 0,12480 0,96710	1,56790 1,42630 1,12480 1,96710		B

Схема Гаусса с выбором главного элемента

Рассмотренный метод, называемый схемой единственного деления, обладает следующими недостатками.

1) Если ведущий элемент какой-либо строки (пусть коэффициент a₁₁ при x₁ в первом уравнении) окажется равным нулю, то эта схема формально не пригодна, ходя система может иметь решение.

2) В процессе вычислений могут встретиться ведущие элементы, которые малы по сравнению с другими элементами. Это вызовет увеличение погрешностей в результате деления на малое число.

Рассмотрим схему с выбором главного элемента, которая менее чувствительна к погрешностям округления и всегда приводит к единственному решению, если оно есть. Эта схема не сильно отличается от рассмотренной выше.

Пусть, как и прежде, дана система:

------------------------------- (16.20)

Предположим, что коэффициент , Если это условие не выполняется, то путем перестановки двух уравнений системы, а потом, если это потребуется, двух столбцов неизвестных со своими коэффициентами, добьемся того, чтобы коэффициент в верхнем левом углу системы оказался наибольшим. Найденный коэффициент при перенумерации обозначим . Этот коэффициент называется первым главным элементом. Затем, разделив на первое уравнение, приводим его к виду: или

(16.21)

Исключив из второго, третьего и т.д. уравнений, получаем систему из уравнений с неизвестными.

Далее с этой системой поступаем аналогично, как и со всей исходной системой, а именно, осуществив, если нужно, перестановку двух уравнений, а также. возможно, двух столбцов неизвестных с их коэффициентами, и произведя соответствующую перенумерацию, обеспечиваем выполнение неравенств ,

Найденный максимальный по модулю коэффициент, обозначенный, называется

вторым главным элементом. Разделив на уравнение, стоящее теперь на первом месте, приведем его к виду:

или

(16.22)

С помощью уравнения (16.22) теперь можно избавиться в системе от неизвестного .

После этого имеем систему из уравнений с неизвестными. Продолжая выделять главные элементы системы, добираемся до последнего уравнения с одним неизвестным

(16.23)

или .

Это был прямой ход схемы. Обратный ход выполняется аналогично описанной ранее схеме.