Оценка погрешности приближения

Продолжая вычисления, производимые при доказательстве первой теоремы, можно прийти к следующему соотношению:

. (14.12)

Отсюда ясно, что сходимость процесса итерации будет тем быстрее, чем меньше число q (т.е. чем меньший наклон имеет график функции к оси Ox, или, что то же самое – чем больше угол между графиками y₁ = x и ). Формула (14.12) может быть приведена к виду

или

. (14.13)

Отсюда понятно, что для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей , достаточно определить n так, чтобы выполнялось неравенство .

В частности, если , то

(14.14),

т.е. в этом случае из неравенства <  вытекает неравенство < .

Замечание. В методе итерации уравнение f(x) = 0 записывается в виде равенства x =  (x).

При этом функцию  (x) можно выбирать различным образом. Из вышеизложенного понятно, что выгоден такой выбор, при котором выполняется неравенство

.

Причем, чем меньше q, тем быстрее x_n приближается к значению x = .

Проиллюстрируем на примерах, какие ситуации могут встретиться на практике.

Пример. Найти положительный корень в уравнении

. (14.15)

Решение. Грубой прикидкой оцениваем приближенное значение корня x₀ = 10. Очевидно, что  < 10. Уравнение (14.15) можно записать в виде

(14.15)

или

, (14.15)

или

. (14.15)

В первом случае .

Во втором случае .

В третьем случае .

Пример. Подобрать оптимальный вид функции  (x) для нахождения корня уравнения

. (14.16).

Это уравнение имеет корень   (1, 2), так как f (1) = -1 < 0 и f (2) = 5 > 0.

Уравнение (14.16) можно записать в виде

;

; .

При 1  x  2 ,

и поэтому условия итерации не выполняются.

Но уравнение (14.16) можно записать в другом виде:

и , (14.17)

.

Отсюда .

Значит, процесс итерации для уравнения (14.17) является сходящимся.

В более сложных случаях, когда x выразить из f(x) = 0 не удается, поступают следующим образом: уравнение f(x) заменяют другим, ему равносильным:

(14.18),

где (14.19).

Рассмотрим, как можно подобрать нужный коэффициент .

Итак, мы имеем

.

Кроме того, можно написать

. (14.20)

Параметр  на отрезке [a, b] надо выбрать таким образом, чтобы было выполнено условие

. (14.21)

Отсюда на основании (14.20) получаем:

.

Поэтому можно выбрать

и .

Из последнего соотношения видно, что когда производная f (x) меняется не сильно, то есть m₁  M₂, то q близко к нулю, и мы имеем быструю сходимость x_n к .

На практике достаточно взять для и будет иметь место сходимость итерации.

Очень часто берут .

15. Метод итерации для системы двух уравнений

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными

(15.1),

действительные корни которых надо найти с заданной степенью точности.

Пусть х = х₀; у = у₀ – приближенные значения корней системы (15.1), полученные каким-либо способом (графическим, грубой прикидкой). Для этого представим систему (15.1) в виде

(15.2)

и построим последовательные приближения по формулам

(15.3)

Если итерационный процесс (15.3) сходится, т.е. существуют пределы

и ,

то, предполагая функции ₁(x, y) и ₂(x, y) непрерывными и переходя к пределу в равенстве (15.3) общего вида, получим:

Отсюда

,

т.е. предельные значения  и  являются корнями системы (15.2), а, следовательно, и (15.1). Взяв достаточно большое число итераций (15.3), мы получим числа x_n и y_n, которые будут отличаться от точных корней x =  и y =  сколь угодно мало. Для решения системы таким образом итерационный процесс должен быть сходящимся.

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R{a  x  A; b  y  B} имеется одна и только одна пара корней x =  и y =  системы (15.1).

Если: 1) функции ₁(x, y) и ₂(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2) начальные приближения x₀, y₀ и все последующие приближения x_n, y_n (n = 1, 2) принадлежат R;

3) в R выполнены неравенства

то процесс последовательных приближений (15.3) сходится к корням x =  и y =  системы (15.2), т.е.

и .

Замечание. Теорема остается верной, если условие 3) в ней заменить условием 3):

Эту теорему примем без доказательства.

Пример. Для системы

найти положительные корни с четырьмя значащими цифрами.

Решение. Строим график функций f₁(x, y) = 0 и f₂(x, y) = 0. Приближенные значения интересующих корней есть x₀ = 3,5; y₀ = 2,2. Для применения метода итерации запишем нашу систему в таком виде:

Найдем частные производные

.

Ограничиваясь окрестностью , будем иметь

;

;

; .

Отсюда

; (15.4)

. (15.5)

Видим, что условия сходимости выполняются.

приступаем к вычислению последовательных приближений по формулам

занося результаты в таблицу.

Таблица

n	xn	yn
0	3,5	2,2
1	3,479	2,259
2	3,481	2,260
3	3,464	2,261
4	3,486	2,261
5	3,487	2,262
6	3,487	2,262

Таким образом, можно принять  = 3,487;  = 2,262.

Замечание. Вместо рассмотренного процесса последовательных приближений (15.3) иногда пользуются процессом Зейделя:

16. Решение систем линейных уравнений

Одной из самых распространенных задач в вычислительной практике является задача решения систем линейных уравнений, которые в общем случае имеют вид:

(16.1)

Методы решения систем линейных уравнений можно разделить на точные (конечные) и итерационные (бесконечные).

Точные (или прямые) методы дают точное решение (с точностью до ошибок округления) с помощью конечного числа арифметических операций. В итерационных методах для получения точного решения необходимо произвести бесконечное число арифметических операций. Так как это невозможно, то в итерационных методах всегда присутствует ошибка ограничения.

Система вида (16.1) называется системой п линейных уравнений с n неизвестными, где x₁, x₂, , x_n называются неизвестными системы, a₁₁, a₁₂, , a_nn - коэффициентами при неизвестных системы, b₁, b₂, , b_n - свободными членами системы. Кратко система (16.1) может быть записана в виде

(16.2)

Пользуясь матричными обозначениями, можно записать

A X = B , (16.3)

где

. (16.4)

При рассмотрении произвольной системы линейных уравнений (16.1) нельзя заранее сказать, будет ли такая система иметь единственное решение, бесконечное множество решений или совсем не иметь решения.

Пусть дана система линейных уравнений (для простоты рассмотрим систему третьего порядка)

(16.5)

Введем следующие обозначения:

Здесь  - определитель системы, а ₁, ₂, ₃ - определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.

Чтобы система (16.1) или ее частный случай – система (16.5) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был не равен нулю (  0). Система в этом случае называется линейно независимой или определенной (или невырожденной) и решается с помощью методов линейной алгебры. Например, решение системы по формулам Крамера. В случае (16.5) эти формулы имеют вид:

. (16.6)

Определитель системы (16.1) равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующее алгебраическое дополнение

,

если раскрыть определитель по i-ой строке; или , если раскрыть определитель по j–ому столбцу. Алгебраическое дополнение равно минору M_ij, умноженному на (-1)^i+j, т.е. A_ij =(-1)^i+j M_ij. Минором M_ij называется определитель, получающийся вычеркиванием i-ой строки и j–ого столбца.

Вычисление определителей – очень трудоемкий процесс, и, чтобы решить систему, например, 10^го порядка, необходимо вычислить 11 определителей 10^го порядка. Подсчитано, что для прямого вычисления определителя уже 30^го порядка требуется около 10³⁰ действий – вряд ли такие методы приемлемы даже для самых быстродействующих ЭВМ.

Методы же исключения уже сегодня позволяют вычислять определители, достигающие порядков до тысячи.

Пример. Решить с помощью формул Крамера систему линейных уравнений:

Решение. Находим определитель этой системы

;

1-й дополнительный определитель:

;

2-й дополнительный определитель:

;

3-й дополнительный определитель:

.

Отсюда,