8. Интерполяция с равноотстоящими узлами.

Оптимальное распределение узлов является неравномерным - узлы сгущаются к концам отрезка и разрежаются в его середине. На практике это неудобно.

Часто используют таблицы, где узлы расположены с постоянным шагом.

Когда задается х, то выбирается несколько ближайших к нему узлов, и производится интерполяция.

Пусть - узлы интерполяции; - шаг; ; - заданные значения функции; , причем .

Рис. 7.3. Иллюстрация расположения равноотстоящих узлов (ср. с рис. 7.2)

Введем безразмерную переменную

(8.1)

Тогда узлу соответствует .

Действительно, . (8.2)

Кроме того, ; . (8.3)

Вернемся к интерполяционным многочленам Лагранжа и выразим их через безразмерную переменную (6.16-6.18).

.

.

В общем случае

(8.4)

. (8.5)

Подставим полученные выражения в формулу для остаточного члена многочлена Лагранжа.

. (8.6)

Оценку максимальной погрешности интерполяции на отрезке с учетом

(8.6) можно записать в виде

, (8.7)

где (8.8)

Величина не зависит от . Она может быть заранее вычислена. Например, пусть n = 1. Тогда

.

Аналогично находится . (8.9)

Таким образом, максимальная погрешность интерполяции на отрезке , т.е.

есть .

Отсюда следует, что при уменьшении шага вдвое правая часть оценки (8.7) уменьшится по крайней мере в раз (здесь учитывается очевидность неравенства ).

Исходя из указанной оценки, следует, что, выбирая шаг таблицы значений функции на , можно обеспечить заданную точность интерполяции.

9. Конечные и разделенные разности.

Пусть , где - целое, , .

Определение. Величина

(9.1)

называется конечной разностью первого порядка фун-ции в точке (с шагом ).

а (9.2)

называется конечной разностью второго порядка в точке .

Обобщая: конечная разность порядка функции f(x) в точке определяется по рекуррентной формуле

(9.3)

Составим следующую таблицу

Лемма 1. Если , то существует такая точка что (9.4)

Доказательство. При

,

согласно теореме Лагранжа о конечных приращениях.

При обозначим Тогда согласно (9.3)

, (9.5)

где .

Но, согласно нашему обозначению, .

(9.6)

(еще раз использовали формулу Лагранжа).

Из (9.5) и (9.6) имеем

.

Аналогично можно доказать лемму и для .

Следствие леммы 1. Конечная разность порядка алгебраического многочлена степени постоянна, т.е. не зависит от , а конечные разности более высоких порядков равны нулю.

Покажем это на примере функции .

Составим таблицу для при

0 1 2 3 4	1 2 7 16 29	1 5 9 13	4 4 4	0 0.	0

Очевидна следующая формула для конечной разности порядка полинома степени

, где - коэффициент при .

Справедливо и обратное утверждение: если разности порядка , образованные для равноотстоящих значений аргумента постоянны, то функция представляет собой полином степени.

Одно из практических применений леммы 1.

Согласно этой лемме величину (если ) можно считать производной (х) в некоторой точке .

Поэтому при малых число может быть использовано в оценках погрешности интерполяции.

Разделенные разности. Пусть теперь произвольные точки оси .

Сами значения функции функции в узлах называются разделенными разностями нулевого порядка.

Разделенной разностью первого порядка ф-ции (x) называется число

. (9.7)

Разделенной разностью второго порядка ф-ции называется число

. (9.8)

Разделенная разность n-го порядка определяется по рекуррентной формуле через разделенные разности порядка:

. (9.9)

При вычислениях разделенные разности записывают в таблицу

Лемма 2. Разделенная разность порядка выражается через узловые значения функции по формуле

, (9.10)

т.е. является симметрической функцией своих аргументов.

Для .

Пусть .

. (9.11)

Доказательство для производится по индукции.

Из приведенных формул очевидно, что значение разделенной разности порядка не зависит от нумерации узлов, по которым она строится. Поэтому имеется возможных вариантов нумерации узлов числами от 0 до .

Лемма 3. Если т.е. узлы расположены с постоянным шагом , то между разделенной разностью порядка и конечной разностью порядка имеется следующая связь:

. (9.12)

Доказательство. Для равенство (9.12) вытекает из определения разделенной разности

.

При n = 2

.

При

, и т.д. для .

Лемма 4. Пусть - минимальный отрезок, содержащий узлы . Тогда существует такая точка , что

. (9.13).

Доказательство леммы в общем случае опускаем.

Следствие леммы 4. Разделенная разность порядка от алгебраического многочлена степени принимает постоянное значение, не зависящее от выбора узлов , а разделенные разности более высоких порядков равны нулю.