Для будь-якої формули і для будь-якого числа справедливий розклад:

(2)

де кон’юнкція береться за всіми можливими наборами значень змінних .

Рівносильність (2) називається розкладом за змінними .

Теорема (про зображення булевих функцій ДКН формами). Будь-яку булеву функцію, відмінну від константи одиниця, можна єдиним чином зобразити ДКН формою:

Алгоритм знаходження дкнф для даної функції:

1) Вибрати всі ті набори значень її змінних, на яких функція набуває значення 0;

2) Для кожного такого набору утворити відповідну повну елементарну диз’юнкцію;

3) Отримані повні елементарні диз’юнкці з’єднати знаками .

Приклад. Знайти ДКНФ для функції , яка реалізується формулою .

Розв’язання: Складемо таблицю істинності:

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

З таблиці видно, що наборів, на яких функція набуває значення 0 два: і , тому

Алгоритм знаходження дкнф для даної функції за допомогою рівносильних перетворень:

1) Позбавитися у формулі від всіх входжень знаків та ;

2) Добитися того, щоб знак  стояв тільки перд змінними;

3) поповнити елементарні диз’юнкції до повних так: якщо змінна не входить у формулу , то оскільки , то ;

4) З однакових членів отриманої кон’юнкції залишаємо тільки один.

Приклад. Знайти ДКНФ для формули за допомогою рівносильних перетворень:

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .

8. Повні системи булевих функцій.

Означення. Система булевых функцій називається повною (функціонально повною), якщо будь-яка булева функція може бути записана у вигляді формули через функції цієї системи).

Приклад 1 повної системи. Система є повною.

Приклад неповної системи. Система не є повною.

Теорема. (про зведення до повної системи). Нехай задані дві системи булевих функцій:

,

,

відносно яких відомо, що система повна і кожна її функція виражається у вигляді формули через функції системи . Тоді система є повною.

Теорема (про повноту двоїстої системи функцій). Якщо система булевих функцій є повною, то повною буде і система, яка складається з двоїстих функцій.

Приклади повних систем.

2. .

Дійсно, візьмемо за систему систему , а за систему – дану систему . Скористаємося рівносильністю . В результаті будь-яка булева функція, зображена формулою через функції системи виявиться зображеною формулою через функції системи , тобто система є повною.

3. .

4. .

5. {|}.

6. .

7. Система , де – додавання за модулем 2, є повною.

З наведених прикладів видно, що існує ціла низка повних систем функцій. Кожна з цих систем може бути прийнята за множину елементарних функцій. Таким чином, для зображення булевої функції можна використовувати різні повні системи.

Означення. Система функций називається базисом, якщо вона є повною, але будь-яка її підсистема не буде повною.

9. Мінімізація булевих функції в класі

досконалих диз’юнктивних нормальних форм.

Означення. Мінімальною ДНФ (МДНФ) функції називається ДНФ, що реалізує функцію і містить мінімальне число символів змінних у порівнянні з усіми іншими видами ДНФ, що реалізують функцію .

Метод Квайна-МакКласкі мінімізації булевих функцій в класі ДНФ

1 етап мінімізації – побудова скороченої ДНФ

Позначимо через одиничну множину функції , тобто множину наборів значень аргументів функції , на яких вона набуває значення 1.

Означення. Імплікантом функції називається елементарна кон’юнкція така, що .

Означення. Імплікант функції називається простим імплікантом (ПІ), якщо після виключення будь-якої змінної з утворюється елементарна кон’юнкція, яка вже не є імплікантом функції .

Прості імпліканти – це найкоротші з імплікантів, які складаються з одних й тих самих змінних. Наприклад, для функції кон’юнкції , - прості імпліканти, а - імплікант, але не простий. Відзначимо, що будь-яка кон’юнкція будь-якої ДНФ даної функції є імплікантом цієї функції.

Теорема. Будь-яка булева функція реализується диз’юнкцією всіх своїх простих імликантів ).

Означення. Скороченою ДНФ (СДНФ) функції називається диз’юнкція всіх простих імплікантів функції .