
- •1. Дійсні Числа
- •2. Комплексні числа та дії над ними
- •3. Поняття функції. Область визначення.
- •8.Означення похідної
- •9. Похідна суми, добутку, частки функції.
- •10. Диференціал.
- •12. Правило Лопіталя
- •14. Формула Тейлора
- •15. Опуклість кривої, точки перегину, асимптоти кривої.
- •22. Невизначений інтеграл. Означення та властивості.
- •24. Формула інтегрування по частинам у невизначеному інтегралі.
- •25. Інтегрування раціональних дробів.
- •27. Визначений інтеграл. Означення та властивості.
- •28.Формула Ньютона – Лейбніца:
- •37. Ряди: означенняб необхідна умова збіжності
- •38.Ряди: ознаки збіжності Даламбера, Коші, інтегральна ознака, ознака порівняння.
- •40. Степеневі ряди, радіус та область збіжності.
1. Дійсні Числа
Множина сукупність деяких об’єктів об’єднаних за певною ознакою або властивістю.
Натуральні числа – використовуються при лічбі предметів.
Ірраціональні числа – представляються у вигляді не скінченних, не періодичних дробів.
Раціональні й Ірраціональні утворюють множину дійсних чисел.
Дійсні числа поділяються на 2-ві групи:
-
Трансциндентні
-
Алгебраічні
2. Комплексні числа та дії над ними
Комплексными числами називають вирази виду а + bi (a i b — дійсні числа, i — деякий символ), для яких поняття piвностi та операції додавання i множення вводяться так:
а) два
комплексш числа
і
piвнi
тoдi
i
тiльки
товi,
коли
і
б) сумою
чисел
і
називають
число
в) добутком
чисел
і
називають
число
Отже, додавання i множення комплексних чисел виконують за формулами:
(1)
(2)
Операції додавання (1) i множення (2) мають такі властивості
-
Комутатившсть додавання:
-
AcouiaTHBHicTb додавання:
-
Для будь-яких комплексних чисел z1 i z2 icнye таке комплексне число z, що z1 + z = z2. Це число називаеться різницею чисел z2 i z1, його позначають z2 — z1.
-
Комутативн1сть множення:
-
AcouiaTHBHicTb множення:
-
Для будь-яких комплексних
i z2 icнye таке число z, що z1z =z2. Це число називаеться часткою комплексних чисел z2 i zx; його позначають
. Ділення на комплексне число 0+0і, яке називаеться нулем, неможливе.
-
Дистрибутившсть:
3. Поняття функції. Область визначення.
Фу́нкція — це правило, яке кожному елементу з першої множини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.
Область визначення — множина допустимих значень аргументу функції. Позначається як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).
Якщо задані: числова
множина
та
правило
,
що дозволяє поставити у відповідність
кожному елементу
з
множини
певне
число, то говорять, що задана функція
з
областю
визначення
.
Тобто, визначення області значень є необхідною умовою визначення функції.
Значення змінних,
на яких задається функція
,
називають допустимими
значеннями змінних.
Значення змінних,
при яких алгебраїчний вираз
має
зміст, називають допустимими
значеннями змінних.
Множину всіх
допустимих значень змінних
називають областю
допустимих значень змінних
.
Областю
визначення рівняння
називають
множину всіх тих значень зміної x,
при яких алгебраїчні вирази
і
одночасно
мають зміст.
Якщо функція задана формулою, то область визначення складається зі всіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст.
4. Обернені функції
Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є оберненою.
у такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.
5. Побудова графіків функцій та елементарні перетворення (стиск, розтяг та паралельне перенесення).
Стискування: Графік функції y = f(ах) (а > 1) виходить за допомогою стискування графіка функції y = f(x) уздовж осі х в а разів.
Розтягування: Графік функції y=f(ах) (1 > а > 0) виходить за допомогою розтягування графіка функції у = f(x) уздовж осі х в 1/а разів. При цьому в обох випадках точки пересічення графіка з віссю в остаються незмінними
6. Числові послідовності. Грнаниця послідовності
Число а- назив
границею
послідов
де
n
прямує до 0якщо у будь-якому
епселент числа a
знаходиться
усі члени цієї послідовності.
7. Неперервність ф-ції. Точки розриву та їх класифікація.
Функція
f(х),
визначена в деякому околі точки х0
називається неперервною
в точці х0,
якщо виконується умова:
Функція f(х)
називається неперервною
в області свого визначення,
якщо приріст функції
дорівнює нулю, коли приріст аргументу
прямує до нуля:
Якщо функція неперервна в кожній точці деякої області (відрізка, числової вісі тощо), то вона називається неперервною в цій області.
Якщо функція f(х), неперервна в околі точки х0, не є неперервною в ній, то х0 - точка розриву заданої функції.
Класифікація точок розриву функції:
якщо односторонні
границі функції f(х)
існують, але
,
то
х0
-усувний розрив 1-го роду;
якщо існують
односторонні границі функції f(х)
і
,
то
х0
– розрив
1-го роду і в
точці х0
має стрибок
;
якщо хоча б одна з односторонніх границь функції f(х) в точки х0 не існує, то х0
-точка розриву ІІ-го роду.