3. Основное интегральное тождество (интегральное уравнение равновесия)

Рассмотрим произвольное распределение напряжений из множества статически допустимых состояний. Применим к обеим частям уравнений равновесия

оператор где - некоторое кинематически допустимое поле перемещений:

Применяя интегральную формулу Гаусса-Остроградского, с учетом выполнения соотношений

получим

Данное соотношение называется основным интегральным тождеством или интегральным уравнением равновесия. Члены в правой части тождества имеют смысл, последовательно, работы статически допустимых напряжений на заданных перемещениях и работ поверхностных и объемных нагрузок на кинематически допустимых перемещениях

Следствие. Для случая распределений , соответствующих состоянию равновесия тела при заданных внешних воздействиях, из основного интегрального тождества с учетом формулы для потенциальной энергии упругой деформации линейно упругого тела

следует теорема Клапейрона

где А – работа всех (внешних и реактивных) сил, вычисленная по характеристикам рассматриваемого равновесного состояния.

4. Принцип виртуальных перемещений (вариационное уравнение Лагранжа)

Рассмотрим основное интегральное тождество при распределениях деформаций и перемещений в состоянии равновесия:

Наряду с этим рассмотрим перемещения и деформации в смежном кинематически возможном состоянии:

Почленно вычитая первое тождество, получим

Если произвести замену в данном выражении статически допустимых напряжений на кинематически допустимые , тогда равенство будет выполняться только в том случае, когда будет являться одновременно и статически возможным, то есть для распределения напряжений в состоянии равновесия

Тождество преобразуется в уравнение, определяющее в множестве кинематически возможных состояний истинное состояние равновесия и называющееся вариационным уравнением Лагранжа:

Правая часть уравнения имеет смысл работы, совершаемой заданными внешними нагрузками на кинематически возможных вариациях перемещений, и называется виртуальной работой внешних сил

Левая часть уравнения представляет собой, в соответствии с формулой Грина, кинематически допустимую вариацию потенциальной энергии упругой деформации:

где - плотность потенциальной энергии упругой деформации.

Полученный результат, таким образом, можно представить в форме принципа виртуальных перемещений.

Формулировка. Для того, чтобы данное кинематически возможное состояние являлось состоянием равновесия, необходимо и достаточно, чтобы кинематически возможная вариация потенциальной энергии упругой деформации была равна работе внешних сил на кинематически допустимых вариациях поля перемещений:

Приведенное выше доказательство показывает необходимость выполнения принципа виртуальных перемещений для состояния равновесия.

5. Доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений

Покажем, что выполнение принципа виртуальных перемещений влечет удовлетворение уравнений равновесия и статических краевых условий, то есть приводит к выделению истинного состояния равновесия.

Преобразуем выражение для вариации потенциальной энергии упругой деформации, используя соотношения Коши и свойство симметрии тензора напряжений:

Применяя интегральную формулу Гаусса-Остроградского, преобразуем первый из полученных интегралов в интеграл по ограничивающей поверхности . С учетом выполнения условия на части поверхности , получим

При подстановке в уравнение принципа виртуальных перемещений данного соотношения и выражения для виртуальной работы получим после перегруппировки членов:

Вследствие произвольности вариаций выполнение равенства имеет место только в случае обращения в нуль выражений в скобках:

то есть при выполнении статических краевых условий и уравнений равновесия.

Остальные основные уравнения и краевые условия удовлетворены вследствие требования кинематической допустимости. Кинематически допустимое состояние, удовлетворяющее формулировке принципа, является истинным состоянием равновесия. Достаточность принципа виртуальных перемещений доказана.