4.3. Математическая постановка задачи

Математическая постановка задачи моделирования – со-вокупность математических соотношений, описывающих пове-дение и свойства объекта моделирования.

Совокупность математических соотношений определяет вид оператора модели. Наиболее простой вид оператора – сис-тема алгебраических уравнений. Подобные модели можно на-звать моделями аппроксимационного типа, так как для их полу-чения часто используют различные методы аппроксимации име-ющихся экспериментальных данных о поведении выходных параметров объекта моделирования в зависимости от входных параметров, воздействий внешней среды и значений внутренних параметров объекта.

Корректно поставленная математическая задача – зада-ча, для которой решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных. Понятие корректной задачи имеет большое значение в прикладной математике.

Математическая модель является корректной, если для нее выполняются все контрольные проверки: размерности, поряд-ков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, гранич-ных условий, физического смысла и математической замкну-тости.

Контроль размерностей – контроль использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров. Это правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.

Контроль порядков – грубая оценка сравнительных поряд-ков складываемых величин и исключение малозначимых пара-метров.

Контроль характера зависимостей – направление и ско-рость изменения выходных параметров должны соответствовать физическому смыслу изучаемой модели.

Контроль экстремальных ситуаций – упрощение модели в экстремальных ситуациях и придание соотношениям более наглядный смысл.

Контроль граничных условий – проверка наложенности и использования граничных условий в построении искомого решения, а также значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.

Контроль физического смысла – проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.

Контроль математической замкнутости – проверка воз-можности однозначного решения математической задачи на основе выписанной системы.

Например для задачи отыскания n неизвестных из некото-рой системы алгебраических уравнений, контроль замкнутости состоит в проверке факта, что число независимых уравнений должно быть n.

4.4. Выбор и обоснование выбора методов решения задачи

Поиск решения задачи – отыскание некоторых зависимос-тей искомых величин от исходных параметров модели.

Все методы решения можно подразделить на аналитичес-кие и алгоритмические.

Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей.

Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгорит-му, реализующему вычислительный эксперимент с использова-нием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте зависит от использования метода и его параметров (например, шага интегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более трудоемки в реализации, требуют хорошего знания мето-дов вычислительной математики, обширной библиотеки специ-ального программного обеспечения и мощной вычислительной техники.

Общим для численных методов является сведение матема-тической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, переходом от функции непре-рывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Полу-ченное решение дискретной задачи принимается за приближен-ное решение исходной математической задачи.

Основные составляющие погрешностей при численном решении задачи:

1. Неустранимая погрешность – связана с неточным зада-нием исходных данных задачи (начальные и граничные условия, коэффиценты и правые части уравнений);

2. Погрешность метода – связана с переходом к дискрет-ному аналогу исходной задачи;

3. Ошибка округления – связана с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ.

Численный или приближенный метод всегда реализуется в виде вычислительного алгоритма. Этот алгоритм должен быть реализуем, то есть давать решение задачи за допустимое ма-шинное время.

Важной характеристикой алгоритма является его точность – возможность получения решения исходной задачи с заданной точностью ε>0 за конечное число Q(ε) действий.

В процессе реализации вычислительного алгоритма на каждом акте вычислений возникает некоторая погрешность. При этом величина погрешности от действия к действию может на-растать или не нарастать. Если погрешность в процессе вычис-лений неограниченно нарастает, то такой алгоритм называется неустойчивым или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым или сходящимся.

Выделяют следующие группы численных методов:

• интерполяция и численное дифференцирование,

• численное интегрирование,

• определение корней линейных и нелинейных уравне-ний,

• решение систем линейных уравнений (прямые, итера-ционные),

• решение систем нелинейных уравнений,

• решение задачи Коши для обыкновенных дифферен-циальных уравнений,

• решение краевых задач для обыкновенных дифферен-циальных уравнений,

• решение уравнений в частных производных,

• решение интегральных уравнений.