7.1. Моделирование в условиях неопределенности, описываемой с позиции теории нечетких множеств

Нечеткое множество – это математическая модель класса с нечеткими или, иначе говоря, размытыми границами.

В этом понятии учитывается возможность постепенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемента множеству:

Элемент m может иметь степень принадлежности множес-тву между полной принадлежностью – 1 и полной непринад-лежностью – 0.

μ(m)- степень принадлежности множеству.

μ(m)  [0, 1]

Нечетким множеством A в U называется совокупность пар вида (u, μ_A(u)), где u  U, μ_A(u) – функция принадлежности элементов нечеткого множества А, μ_A : U → [0, 1].

U – универсальное множество.

Математически нечеткое множество определяется следую-щим образом:

A = U (μ_A(u), u)

^{u U}

Например;

U = (a, b, c , d , e, f)

M = (0, 0.5, 1)

Тогда A = ((0.0, a), (1.0, b), (0.5, c), (0.0, d), (0.5, e), (0.0, f))

Подход с позиций теории нечетких множеств к математи-ческому моделированию явлений или процессов наиболее пред-почтителен в тех областях знаний, в которых трудно или даже невозможно получить точные количественные оценки. К таким разделам можно отнести экологию, метеорологию, педагогику, психологию, социологию и т.п.

7.2. Моделирование в условиях стохастической неопределен-ности

Опыт – осуществление какого-либо комплекса условий, который может быть воспроизведен много раз.

Событие – результат опыта или наблюдения.

Элементарное событие – событие, которое происходит в результате единичного опыта.

Составное событие – совокупность элементарных собы-тий.

Генеральная совокупность – совокупность событий, кото-рые могут быть реализованы в результате бесконечного числа однотипных опытов.

Выборочная совокупность (выборка) – совокупность слу-чайно отобранных событий из генеральной совокупности.

Объем совокупности – число событий этой совокупности.

Случайная величина – величина, которая в результате опы-та может принять одно из возможных значений, но какое имен-но – неизвестно.

Вероятность события – мера его благоприятствия.

Равновозможные события – события, мера благоприят-ствия которых одинакова.

В реальных условиях, когда количество опытов конечно, мера благоприятствия определяется не вероятностью, а час-тотностью.

Если событие А наблюдалось в m опытах из n опытов, то частотность события А определяется формулой: W(A) = m/n.

Когда n достаточно велико, то может быть записано при-ближенное равенство:

W(A) = P(A) – вероятность события.

Полностью охарактеризовать случайную величину можно законом распределения.

Закон распределения случайной величины – правило (табли-ца, функция), позволяющее находить вероятности всевозмож-ных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал). Если случайная величина имеет данный закон распределения, то про нее говорят, что она распределена по этому закону.

Дискретная случайная величина - случайная величина, ко-торая принимает отдельные, изолированные возможные значе-ния с определенными вероятностями. Число возможных значе-ний дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Математическое ожидание дискретной случайной вели-чины – сумма произведений всех ее возможных значений x_i на их вероятности p_i:

_n

M(X) = ∑ x_i p_i

^I=1

Мода случайной величины – ее наиболее вероятное зна-чение (то, для которого вероятность достигает максимума).

Медиана случайной величины – такое ее значение, для ко-торого P(X<x) ≈ P(X>x).

Дисперсия дискретной случайной величины – математи-ческое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M(X- M(X))²

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X – квадратный корень из дисперсии:

σ(Х) = √ D(X)

Функция распределения случайной величины Х – функция F_X(x), представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х: F_X(x) = P(X<x)

Плотность распределения f_X(x) вероятностей непрерыв-ной случайной величины Х – первая производная от функции распределения F_X(x) и характеризует скорость изменения функ-ции распределения этой случайной величины.