Примеры решения задач Задача 6.1

В банке проводится анализ наличия потенциальных кредитных ресурсов. Для этого требуется определить, сколько депозитов из 12500 должно попасть в выборку. Предыдущее обследование показало, что доля невостребованных в срок депозитов составила 27% от их общего числа. Обследование предполагает, что предельная ошибка доли невостребованных депозитов не должна превышать 3%, а вероятность расчетов должна быть не менее 0,997.

Решение. определим, какие данные имеются в условии: N = 12500; w = 27%, или 0,27; Δ_w = 3%, или 0,03; t = 3.

Расчет оптимальной численности следует производить по формуле (6.16), т.к. подобные обследования не предполагают повторного отбора.

Тогда оптимальная численность равна:

Следовательно, в банке достаточно обследовать 1703 депозита, или 13,6% от их общего числа (1703 : 12500 · 100 = 13,6%), чтобы определить объем потенциальных кредитных ресурсов.

Задача 6.2

Для изучения распределения работников госсектора по размерам заработной платы в городе проведено 10%-ное выборочное обследование. В результате учета 900 человек выявлено, что средняя зарплата работников составляет 1480 руб. со средним квадратическим отклонением 150 руб. 10% работающих получают зарплату свыше 1600 руб.

Требуется с вероятностью 0,954 определить пределы среднего размера заработка одного работника госсектора в городе и пределы доли жителей, получающих свыше 1600 руб.

Решение. В данном примере требуется определить пределы двух величин: среднего значения признака и доли жителей, получающих свыше 1600 руб.

Для исчисления пределов вначале следует рассчитать предельные ошибки выборочной средней и выборочной доли альтернативного признака.

Так как в условии не оговаривается, повторный или бесповторный отбор применялся при данном обследовании, по умолчанию предполагается бесповторный отбор. Объем выборки - 10%, следовательно, для расчета предельных ошибок выборочной средней и выборочной доли используются следующие формулы, полученные на основе формул (6.2) и (6.7); (6.5) и (6.8):

, (6.17)

. (6.18)

Коэффициент доверия (t) при вероятности 0,954 равен 2; дисперсию () найдем, возведя в квадрат среднее квадратическое отклонение (150² = =22500); численность выборки (n) - 900 человек; численность генеральной совокупности (N) - 9000 человек; доля альтернативного признака (w) - 10% (в задачах данного типа доля альтернативного признака переводится в доли единицы, т.е. w = 0,1).

Тогда ,

Пределы среднего значения признака в генеральной совокупности находятся по формуле (6.9):

. (6.9)

Тогда в нашем примере

Пределы доли альтернативного признака определим по формуле (6.11):

, (6.11)

Р = 0,1 ± 0,019,

0,081 ≤ Р ≤ 0,119.

Следовательно, с вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) мы можем утверждать, что средняя зарплата работников госсектора в городе будет не меньше чем 1470,5 руб. и не превысит 1489,5 руб.

Доля работников, получающих зарплату свыше 1600 руб., колеблется от 8,1 до 11,9%.

Условия задач

Задача 6.3

Проведено 10% выборочное измерение выработки на земляных работах у 144 рабочих (по схеме случайной бесповоротной выборки). В результате этого обследования средняя выработка определена в 4,95 м² на одного рабочего, а среднее квадратическое отклонение оказалось равно 2,25. Определите с вероятностью 0,954 возможные пределы средней выработки в генеральной совокупности.

Задача 6.4

Выборочному обследованию (по схеме бесповторной выборки) подвергли качество партии произведенного кирпича из 32000 штук. Взято 1600 проб, причем в 32 случаях кирпич оказался бракованным. Определите с вероятностью 0,997, в каких пределах заключается доля брака во всей партии кирпича.

Задача 6.5

При выборочном изучении квалификации рабочих на одном заводе, где работает 2000 человек, получено следующее распределение 100 рабочих по тарифным разрядам (рабочие отбирались по схеме случайного бесповторного отбора):

Таблица 6.1

Тарифный разряд	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	Всего
Число отобранных рабочих	8	20	25	18	16	13	100

Определите: 1) в каких пределах находятся в генеральной совокупности средний тарифный разряд (с вероятностью 0,954) и доля рабочих, имеющих 5-й и 6-й разряды (с вероятностью 0,683); 2) какова должна быть численность выборки, чтобы ошибка доли рабочих, имеющих 5-й и 6-й разряд, не превышала 0,02.

Задача 6.6

Произведено выборочное наблюдение для установления процента изделий высшего сорта в партии однородной продукции. При механическом отборе из партии в 10000 единиц готовых изделий было обследовано 400 единиц, из которых 320 изделий отнесено к высшему сорту. Определите с вероятностью 0,997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии.

Задача 6.7

Определите численность выборки при обследовании остатков на расчетных счетах у клиентов Сбербанка, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка выборки не превышала 50 руб. Величина среднего квадратического отклонения ± 120 руб.

Задача 6.8

При выборочном обследовании 100 партий изделий установлено, что средний вес партии составляет 63, а среднее квадратическое отклонение – 4,5 кг. Определите с вероятностью 0,683 ошибку выборки.

Задача 6.9

Используя условие предыдущей задачи, определите необходимую численность выборки, чтобы ошибка выборки не превышала 0,3 г (с вероятностью 0,683).

Задача 6.10

Известно, что дисперсия успеваемости по одной дисциплине в 2,13 раза превышает дисперсию по другой , которая равна 0,23. Сколько студентов необходимо обследовать, чтобы средние оценки по этим дисциплинам отклонялись от полученных по выборке не более чем на 0,1 балла (с вероятностью 0,954), если предполагается механическая выборка из совокупности в 4000 студентов?

Задача 6.11

Из 500 отобранных изделий 95% соответствовали первому сорту. Определите среднюю ошибку выборки и границы, в которых находится доля продукции первого сорта во всей партии, с вероятностью 0,954.

Задача 6.12

Рассчитайте предельную ошибку среднего веса изделия, если при собственно-случайной бесповоротной выборке 400 изделий он оказался равным 145 г, среднее квадратическое отклонение – 10 г. При этом в партии осталось необследованными 1600 изделий. Уровень гарантийной вероятности установите сами.

Задача 6.13

Выборочное распределение школьников старших классов по числу часов просмотра телевизора в неделю характеризуется следующими данными (выборкой было охвачено 900 школьников, или 25% их численности в районе):

Таблица 6.2

Число часов	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Численность школьников, % к итогу	5	10	25	30	20	10

Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что среднее время просмотра и доля школьников, которые смотрят телевизор более 20 ч. в неделю, имеют ошибки, не превышающие 5% их величины?