14. Геометрический метод для 2 факторов.

Если требуется найти оптимальные значения всего двух факторов, то можно использовать геометрический метод оптимизации, отличающийся сравнительной простотой и наглядностью.

Постановка задачи оптимизации:

Приравняем целевую функцию нулю и выразим все переменные через одну из них.

Представим преобразованные ограничения и целевую функцию в виде прямых линий.

Построим область допустимых решений (ОДР). Первая точка пересечения линии целевой функции с ОДР является точкой минимума; последняя – максимума.

Проверим выполнение неравенств в точках min (max). Если все неравенства выполняются делаем заключение о корректности полученных результатов.

15. Метод Ньютона.

Для решения оптимизационных задач с нелинейными функциями можно использовать метод Ньютона (метод касательных). Метод Ньютона требует, чтобы оптимизируемая функция была дважды дифференцируема. В экстремальной точке производная функции равна нулю и корень уравнения можно искать приближённо методом касательных, который заключается в построении последовательных приближённых , следующим образом. В точке строится касательная и точка пересечения касательной с осью абсцисс берётся в качестве следующего приближения

,

Вычисления по формуле продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство , после чего полагают что .Замечания:

1. Если начальное приближение близко к , то метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость в поиске экстремума.

2. Если начальное приближение выбрано не достаточно близко, то для поиска экстремума может потребоваться значительное количество итераций, а в принципе, неудачный выбор может привести к расходящемуся процессу, т. е. мы будем удаляться от экстремальной точки. Это возможно, если оптимизируемая функция имеет нелинейность выше второй степени.

Для вычисления шага изменения значения аргумента в итерационном процессе произведём следующие преобразования:

1. Временные динамические ряды. Основные понятия. Проверка гипотез о существовании тенденций. Временные ряды

Временными динамическими рядами (ВДР) называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого процесса (явления) во времени.

В качестве фактора в ВДР используются либо даты, либо интервалы времени. В качестве отклика – количественные показатели развития изучаемого процесса во времени.

Основная цель статистического изучения временных динамических рядов (ВДР) состоит в выявлении и оценивании закономерностей их развития.

Основные показатели динамики ВДР

1. Базисный абсолютный прирост (спад) – вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения :

2. Цепной абсолютный прирост (спад) – вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует:

3. Базисный темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за базу:

4. Цепной темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на предыдущий:

5. Базисный темп прироста – вычисляется делением базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за базу сравнения:

6. Цепной темп прироста – вычисляется как отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:

7. Средний уровень ВДР (оценка математического ожидания):

• для интервального ряда:

• для моментного ряда с равностоящими датами:

• для момента ряда с неравностоящими датами:

7. Средний абсолютный прирост:

7. Средний темп роста:

7. Средний темп прироста:

Проверка гипотезы о существовании тенденции

Проверка разности средних уровней:

Разбиваем анализируемый ряд на две примерно одинаковые выборки, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность. Принимаем допущение, что выделенные выборки подчиняются нормальному закону (можно проверить в ППП Statistica). Воспользуемся методикой, разработанной для малых выборок.

Находим средние значения для левой выборки и правой выборки . Примем допущение об однородности дисперсий. Проверка производится по F-критерию Фишера

(где )

число степеней свободы и ;

Принимаем уровень значимости по рекомендации ; если , то гипотезу не отвергаем. В этом случае можно проводить дальнейшую проверку. Выдвигаем гипотезу о равенстве средних и находим критерий Стьюдента:

,

где S – среднее квадратическое отклонение разности средних.

При уровне значимости находим критическое значение критерия Стьюдента для количества степеней свободы;

Если , то гипотеза о равенстве средних отвергается. В этом случае можно проводить прогнозирование.