15. З точки р (2;3;-5) на координатні площини опущені перпендикуляри. Скласти рівняння площини, що проходить через їх основи.

Основами перпендикулярів, опущених на координатні площини, служать такі точки: М₁(2;3;0), М₂(2;0;-5), М₃(0;3;-5). Застосуємо рівняння площини, що проходить через три точки

, які не належать одній прямій:

=0

Тоді маємо:

або 15х +10у –6z-60=0.

16. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно прямій

З умови задачі випливає, що напрямний вектор прямої є вектором нормалі для шуканої площини. Тоді, аналогічно попередній задачі, маємо:

2(x-0) –1(y-0) +2(z-0)=0, звідки 2x –y + 2z =0.

17. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(5; 3; 4) і паралельна вектору .

Скористаємося канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точку М₀ (x₀; y₀; z₀) та має напрямний вектор .

18. Написати рівняння прямої, що проходить через точку М₀(1,-1,2) перпендикулярно площині х-2у-1=0.

В якості напрямного вектора візьмемо нормальний вектор заданої площини. Тоді канонічні рівняння прямої будуть мати вид

.

Тут 0 у знаменнику означає, що пряма перпендикулярна осі OZ.

19. Знайти точку перетину прямої і площини

3х +5у –z –2=0.

Перетворивши канонічні рівняння прямої до параметричного виду

х = 4t + 12, y = 3t + 9, z = t +1 і підставивши їх в рівняння площини, знайдемо: 3(4t +12) + 5(3t +9)- (t+1)-2 = 0, звідки 26t = -78, t = -3.

Задані пряма і площина перетинаються в точці з координатами

х= 4×(-3)+12=0; у=3×(-3)+9=0; z=-3+1=-2.

Отже, пряма і площина перетинаються у початку координат.

20. Знайти

Підстановка значення х=1 під знак границі приводить до невизначеності Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на х-1 (х ≠ 1):

21. Знайти

Помножимо чисельник і знаменник дробу на суму

22. Знайти .

Згідно відомій тригонометричній формулі, cos 3x-cos x= -2sin 2x sinx.

Оскільки sinx ~ x, sin2x ~ 2x, arcsin²3x ~(3x)²

23. Знайти

Оскільки ~ при х® 0, (див.(4)), а e^-2x -1 ~(-2x) при х®0 (див.(10)), то

24. Знайти y’_x з рівняння y/x=arctg y/x.

Рівняння визначає у як неявну функцію від х. Продиференціюємо обидві частини по х:

Звідси

Після перетворення правої частини маємо

25. Скласти рівняння дотичної до кривої y=arcsinx в точці її перетину з віссю OX.

Знайдемо координати точки перетину кривої з віссю ОХ:

y=arcsinx=0, x₀=0.

Обчислимо значення y’(x) при одержаному значенні змінної:

Підставимо у рівняння дотичної y-y₀=y’(x₀)(x-x₀)одержані значення

Рівняння дотичної буде мати вигляд y=x.

26. y=3x³+4,5x²-4x+1.

1) Дослідити на монотонність і екстремуми дану функцію.

2) Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку 0;1.

1) D(y)=(-∞;+∞),

y′=9x²+9x-4=(3x-1)(3x+4),

y′=0: x= -D(y), x=D(y) – критичні точки функції.

Відповідь: функція зростає при x(-∞; -) та при x(; +∞),

функція спадає при x( -; ); x= - - точка макс., x = - точка мінім.

2) Обчислимо значення даної функції на кінцях даного відрізка і в отриманих критичних точках, які належать цьому відрізку:

Тоді

27. Знайти dy, якщо y=x²tg²x.

.

Приклад. Обчислити інтеграл .

Застосуємо підстановку : х+2=t²; x=t²-2; dx=2t dt. Тоді

Підставимо t= :

28.

(Скористалися формулою інтегрування частинами: ).

29.

(Скористалися формулою заміною змінної.)

30. Знайти площу фігури, обмеженої кривими у =х², у = х +2.

У загальному випадку, коли фігура обмежена зверху кривою

знизу кривою з боків – прямими х = а, х = b, її площа обчислюється за формулою

Щоб зробити малюнок, побудуємо дані криві

та знайдемо абсциси точок перетину кривих,

що обмежують фігуру, для цього розв’яжемо

рівняння х² = х+2: х²- х – 2 = 0, х₁ = -1, х₂ = 2.

Тоді за формулою (1) маємо:

.