7. Дані вершини трикутника: m(0;1); n(6;5) та с(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини с.

Скористаємося рівнянням прямої на площині, яка проходить через точку C(x₀; y₀)та має вектор нормалі :

A(х-х₀) + В(у-у₀) =0.

Зі схематичного рисунка видно, що в якості вектора нормалі прямої СК можна взяти вектор . Тоді маємо:

6(x-12) + 4(у+1) =0, звідки одержуємо 3х +2у –34 =0.

8. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(-2; -5) і паралельно прямій 3х +4у +2 =0.

З схематичного рисунка бачимо, що вектор нормалі даної прямої є і вектором нормалі шуканої прямої. Тоді, застосувавши рівняння з попередньої задачі, маємо:

3(х+2) + 4(у+5) =0, звідки 3х + 4у +26 =0.

9. Дані вершини трикутника а(-2; -3), в(5; 4) та с(-1; 2). Скласти рівняння медіани ам.

Точка М –середина сторони ВС, тому

Використовуючи рівняння прямої, що проходить через точки А і М, знаходимо рівняння медіани АМ:

звідки 3х-2у=0.

10. Провести серединний перпендикуляр відрізка ав, де а(0; -2), в(4;0).

Маємо С(2; -1). Розглядаючи як вектор нормалі шуканої прямої, маємо: 4(х-2) +2(у+1) =0, звідки 2х + у –2 =0.

11. Дані рівняння сторін трикутника:

х + 3у –7= 0 (АВ), 4х –у- 2= 0 (ВС),6х +8у –35= 0 (АС).

Знайти довжину висоти, проведеної з вершини В.

Визначимо координати точки В. Розв’язуючи систему рівнянь

х +3у–7= 0 та 4х –у- 2= 0, одержимо х=1,у=2, тобто В (1;2).

Скористаємося формулою для обчислення відстані від точки М₀( х₀;у₀) до прямої Ах +Ву + С =0:

Знаходимо довжину висоти ВВ₁ як відстань від точки В до прямої АС:

12. Знайти проекцію точки р(4;9) на пряму, що проходить через точки а(3;1) та в(5; 4).

Проекція точки на пряму - це основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. Для її одержання достатньо розв’язати сумісно рівняння прямої АВ і прямої, що проходить через точку Р перпендикулярно АВ.

Рівняння АВ запишемо, скориставшись рівнянням

де та - відомі точки прямої.