31. Нехай

Знайти: 1) 2)

Розв’язання. 1) Знаходимо похідну за напрямком:

2) Знаходимо градієнт функції в точці М:

32. Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання.

Знаходимо стаціонарні точки функції:

Розв’яжемо систему рівнянь

Знаходимо х = -2; у = -1

Маємо одну стаціонарну точку (-2; -1).

Знаходимо частинні похідні 2-го порядку:

2, -1, 4, звідки А=2, В= -1, С=4, ∆=АС-В²=8-1=7>0, А>0, отже, точка (-2; -1) – точка мінімуму даної функції.

33. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

,

що задовольняє початковій умові .

Розв’язання. Запишемо дане рівняння в диференціальній формі¹ .

Тепер відокремимо змінні:

.

Виконуємо інтегрування цього рівняння:

,

,

.

Отримали загальний розв’язок вихідного рівняння.

Використаємо тепер початкові умови і визначимо довільну постійну:

, .

Отже, частинний розв’язок вихідного рівняння має вигляд

.

34. у΄΄+ у΄-2y=0, y(0)=1, y(0)=0.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння: к²+к-2=0.

Знаходимо корені: .

Загальний розв’язок у = C₁ e ^х + C₂ e^-2х.

З умови y(0)=1 маємо: C₁ + C₂=1,

з умови y(0)=0 маємо: C₁ + 2C₂=0 (оскільки y¢= C₁ e ^х + 2C₂ e^-2х),

звідки отримуємо: C₁ =2, C₂=-1.

Отже, шуканий розвязок задачи Коши: у = 2e ^х - e^-2х.

35. у΄΄-4 у΄+4y=0.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння к²-4к+4=0. Корені к₁= к₂ =2. Загальний розв’язок

у = C₁ e^{2 х} + C₂ хe^2х = e^2x(C₁+ C₂х).

36. Розглянемо ряд .

Маємо:

.

Отже, даний ряд абсолютно збігається при < 1 або при . При маємо ряд , котрий розбігається. При маємо ряд , котрий за ознакою Лейбніца збігається (умовно). Таким чином, область збіжності даного степеневого ряду: .

1