15. З точки р(2;3;-5) на координатні площини опущені перпендикуляри. Скласти рівняння площини, що проходить через їх основи.

Розв’язання.

Основами перпендикулярів, опущених на координатні площини, служать такі точки: М₁(2;3;0), М₂(2;0;-5), М₃(0;3;-5).Застосуємо рівняння площини, що проходить через три точки

, які не належать одній прямій:

=0

Тоді маємо:

або 15х +10у –6z-60=0.

16. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно прямій

Розв’язання.

З умови задачі випливає, що напрямний вектор прямої

є вектором нормалі для шуканої площини.

Тоді, аналогічно попередній задачі, маємо:

2(x-0) –1(y-0) +2(z-0)=0, звідки 2x –y + 2z =0.

17. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку м(5; 3; 4) і паралельна вектору .

Розв’язання.

Скористаємося канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точку М₀(x₀; y₀; z₀) та має напрямний вектор .

18. Написати рівняння прямої, що проходить через точку М₀(1,-1,2) перпендикулярно площині х-2у-1=0.

Розв’язання.

В якості напрямного вектора візьмемо нормальний вектор заданої площини.

Тоді канонічні рівняння прямої будуть мати вид

.

Тут 0 у знаменнику означає, що пряма перпендикулярна осі OZ.

19. Знайти точку перетину прямої і площини 3х +5у –z –2=0.

Розв’язання.

Перетворивши канонічні рівняння прямої до параметричного виду

х = 4t + 12, y = 3t + 9, z = t +1 і підставивши їх в рівняння площини, знайдемо:

3(4t +12) + 5(3t +9)- (t—1)-2 = 0, звідки 26t=-78, t =-3.

Задані пряма і площина перетинаються в точці з координатами

х= 4×(-3)+12=0; у=3×(-3)+9=0; z=-3+1=-2.

Отже, пряма і площина перетинаються у початку координат.

20. Знайти

Розв¢язання. Підстановка значення х=1 під знак границі приводить до невизначеності Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на х-1 (х ≠ 1):

21. Знайти

Розв¢язання. Помножимо чисельник і знаменник дробу

на суму

22. Знайти .

Розв¢язання. Згідно відомій тригонометричній формулі,

cos 3x-cos x= -2sin 2x sinx.

Оскільки sinx ~ x, sin2x ~ 2x, arcsin²3x ~(3x)², (див. (1),(3))

23. Знайти

Розв¢язання. Оскільки ~ при х® 0, (див.(4)), а

e^-2x-1 ~(-2x) при х®0 (див.(10)), то

24. Знайти y’_x з рівняння y/x=arctg y/x.

Розв’язання. Рівняння визначає у як неявну функцію від х. Продиференціюємо обидві частини по х:

Звідси

Після перетворення правої частини маємо

25. Скласти рівняння дотичної до кривої y=arcsinx в точці її перетину з віссю OX.

Розв’язання.

Знайдемо координати точки перетину кривої з віссю ОХ:

y=arcsinx=0, x₀=0.

Обчислимо значення y’(x) при одержаному значенні змінної:

Підставимо у рівняння дотичної y-y₀=y’(x₀)(x-x₀)одержані значення

Рівняння дотичної буде мати вигляд y=x.

26. y=3x³+4,5x²-4x+1. 1) Дослідити на монотонність і екстремуми дану функцію. 2) Знайти найьільше і найменше значення функції на відрізку 0;1.

Розв’язання. 1) D(y)=(-∞;+∞),

y′=9x²+9x-4=(3x-1)(3x+4),

y′=0: x= -D(y), x=D(y) – критичні точки функції.

Відповідь: функція зростає при x(-∞; -) та при x(; +∞),

функція спадає при x( -; );

x= - - точка максимуму, x= - точка мінімуму.

2) Обчислимо значення даної функції на кінцях даного відрізка і в отриманих критичних точках, які належать цьому відрізку:

Тоді

27. Знайти dy, якщо y=x²tg²x.

Розв’язання.

.

Приклад. Обчислити інтеграл .

Застосуємо підстановку : х+2=t²; x=t²-2; dx=2t dt. Тоді

Підставимо t= :

28.

(Скористалися формулою інтегрування частинами: ).

29.

(Скористалися формулою заміною змінної.)

30. Знайти площу фігури, обмеженої кривими у =х², у = х +2.

Розв”язання: У загальному випадку, коли фігура обмежена зверху кривою знизу кривою з боків – прямими х = а, х = b (див.мал.1), її площа обчислюється за формулою    (1)

Щоб зробити малюнок, побудуємо дані криві та знайдемо абсциси точок перетину кривих, що обмежують фігуру, для цього розв”яжемо рівняння

х² = х+2 :х²- х – 2 = 0, х₁ = -1, х₂ = 2.

Тоді за формулою (1) маємо:

.