Занятие № 14-15

ТЕМА: Динамические модели биологических процессов

Цель: Изучение основных методов построения и исследования динамических моделей биологических процессов.

Вопросы для рассмотрения на занятии:

1. Основные понятия биологической кинетики.

• Точечные и распределенные модели биологических систем.

• Фазовое пространство. Изображающая точка. Стационарное состояние системы.

• Отличие стационарного состояния от состояния термодинамического равновесия.

• Особенности биологической кинетики в сопоставлении с химической.

2. Проблема снижения размерности пространства при моделировании биологических процессов.

• Быстрые и медленные переменные.

• Иерархия времен в биологических системах

• Лимитирующие стадии процессов.

3. Использование безразмерных величин при построении моделей биологических систем на примере обратимой реакции первого порядка.

4. Устойчивые и неустойчивые стационарные состояния. Аналитический метод определения устойчивости стационарного состояния (метод А.А.Ляпунова)

5. Простейшие модели биологических систем.

• Модель замкнутой популяции клеток

• Рост популяции в среде с ограниченным количеством питательных веществ. Логистическое уравнение Ферхюлста.

• Упрощенная модель культиватора.

6. Бифуркационные диаграммы. Ветви устойчивых и неустойчивых стационарных состояний. «Катастрофы» типа «складка» и «сборка».

7. Модели биологических систем из двух дифференциальных уравнений. Модель химической реакции (А.Д.Лотки) и экологическая модель (В.Вольтерра).

8. Методы качественного анализа поведения систем, зависящих от двух переменных.

• Фазовая плоскость и фазовая траектория

• Уравнение для семейства фазовых траекторий

• Метод изоклин

• Особая точка пересечения фазовых траекторий

• Главные изоклины.

9. Устойчивость стационарных систем из двух переменных.

• Линеаризованная система уравнений.

• Аналитическое решение системы линеаризованных уравнений.

10. Классификация особых точек линейной системы. Особые точки типа «седло», «фокус» и «центр».

Самостоятельная работа

Регуляция ферментативных реакций:[ Рубин А.Б. Лекции по биофизике. Лекция 3. Кинетика ферментативных процессов

1. Открытая ферментативная система с субстратным угнетением

2. Колебания в ферментативных системах Литература

• Рубин А.Б. Биофизика. М. 1999, стр.16-38

• Рубин А.Б. Лекции по биофизике. Лекция 1,2.

• Биофизика. Под ред. Антонова В.Ф. М. «Владос», 1999, стр.167-175.

Занятие № 16

ТЕМА: Процессы самоорганизации в распределенных биологических системах.

Цель: Сформировать общие представления о подходах к анализу процессов, протекающих в распределенных системах. Провести анализ условий, при которых возможно образование диссипативных систем и колебательных процессов.

Вопросы для рассмотрения на занятии:

1. Распространенность автоволновых процессов в биологических системах

2. Явления самоорганизации в биологических системах. Тьюринговые модели.

3. Математическая модель распределенной системы. Граничные условия

4. Решения линейной системы уравнений для различных граничных условий. Условия, при которых происходит затухание или развитие возмущений.

5. Эволюция распределенных систем из двух взаимозависимых переменных.

6. Эволюция распределенной системы на примере брюсселятора.

7. Нетьюринговые модели в биологических процессах.

8. Универсальное уравнение для процессов формообразования. Распределение и эволюция компонентов в пространстве и во времени.

9. Модели хаоса в детерминированных системах. Модель динамики популяции.

Самостоятельная работа

Возникновение автоколебаний на примере реакции Белоусова-Жаботинского