6.3 Численное интегрирование уравнений Лагранжа

запишем уравнение в форме: (1)Такая форма записи напоминает второй закон Ньютона. В левой части находятся силы инерции, в правой - движущие силы. Пусть в состав движущих сил входит, кроме потенциальных сил, сила трения. Тогда выражение для правой части можно записать в виде: (2)Здесь учтена только сила трения, пропорциональная скорости, но легко учесть и любую другую зависимость. Подставляя (2) в (1), получаем: (3)Это нелинейное дифференциальное уравнение уже невозможно решить аналитически, поэтому применим для его решения численный метод Рунге-Кутта. Однако данный метод ориентирован на решение системы дифференциальный уравнений первого порядка, поэтому перепишем (3) в форме: (4)Теперь мы имеем систему двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух искомых функций: (5)Решая эту систему методом Рунге-Кутта с использованием начальных условий: при t=t₀ даны q=q₀ и получаем ответ в табличной форме (см. справа). Эта таблица дает не только зависимости вида (5), но и зависимость , т.е. фазовую кривую. Рассмотрим пример применения численного метода. Пусть имеем постоянную приведенную массу a(q)=1 и потенциальную энергию, заданную формулой: (6)Эта энергия построена как интеграл от обобщенной силы: Q= -12(q-2)(q-5)(q-9) (7)В тех точках, в которых сила обращается в нуль, потенциальная энергия имеет экстремумы (рис.1). При численном интегрировании дифференциальных уравнений важную роль играет правильный выбор шага интегрирования h. В данном случае решение этой задачи можно облегчить следующим образом. Построим фазовую траекторию для случая отсутствия трения (=0) применив, как в предыдущем параграфе, закон сохранения энергии. Полную энергию вычислим через начальные данные. Пусть при t₀=0 будет . Тогда E=П(0)=1300. Закону сохранения энергии соответствует замкнутая фазовая кривая. Решаем теперь уравнения (4) методом Рунге-Кутта при =0 и вновь строим ту же фазовую кривую. Если шаг численного интегрирования выбран слишком большим, то построенные разными способами кривые будут существенно отличаться друг от друга. Уменьшаем, в режиме диалога, шаг до тех пор, пока кривые не совпадут. Такой «визуальный» метод выбора шага h очень удобен при работе с современными персональными компьютерами. Его несомненным достоинством является простота, а также то, что выбор шага делается по интегральному критерию совпадения точной и приближенной кривых, а не локально, как обычно. Выбранный таким образом шаг можно использовать и при . На рис.1 приведен фазовая кривая, соответствующая =0.32. Она имеет вид спирали, помещенной в замкнутый контур, соответствующий отсутствию трения. Вначале у системы хватает энергии преодолевать потенциальный барьер, расположенный между двумя потенциальными ямами, но затем колебания затухают в одной из ям. Этот же эффект виден и из графиков q=q(t) и , приведенных на рис.2. Вначале графики имеют характерные двойные «горбы», соответствующие прохождениям системы через две потенциальных ямы; затем эти «горбы» исчезают. Система начинает совершать затухающие колебания в окрестности точки q=2. Заранее предсказать, в какой именно потенциальной яме затухнут колебания, невозможно. Незначительное изменение значения коэффициента трения с прежнего на =0.33 приводит к затуханиям в другой потенциальной яме (рис. 3, 4). Подобный эффект сильного изменения конечных результатов при незначительном изменении исходных параметров типичен для нелинейных систем.