4.3 Дифференциальные уравнения Лагранжа II рода

При решении задач чаще используется следствие принципа Гамильтона - так называемые дифференциальные уравнения Лагранжа II рода. Рассмотрим вывод дифференциальных уравнений Лагранжа из вариационного принципа Гамильтона. Пусть известна истинная траектория М₀М₁ движения изображающей точки М в пространстве конфигураций (траектория 1 на рис.1). Дадим всем обобщенным координатам бесконечно малые приращения , что соответствует переходу от истинной траектории к какой-то другой, бесконечно близкой к истинной (траектория 2 на рис.1). Вычислим приращение функции Лагранжа, вызванное приращением обобщенных координат. При этом учтем, что функция Лагранжа является функцией как координат, так и скоростей. (1). и поэтому нужно учитывать не только приращения координат, но и приращения скоростей: . Эти приращения скоростей возникают как неизбежное следствие приращений координат, поскольку движение по измененной траектории должно выполняться за то же время [t₀, t ₁], что и движение по исходной траектории, а это возможно только при изменении скоростей. Итак, вычислим бесконечно малое приращение функции 2n переменных (1), вызванное бесконечно малыми приращениями всех переменных: (2) Учитывая равенство: (3) имеем: (4) В (3) и(4)использованы соотношения: (5)которые предполагают возможность перестановки операций  и d/dt. На самом деле это требует доказательства, но оно здесь опускается. В соответствии с (4) выражение (2) принимает вид: (6)В силу экстремальности действия по Гамильтону (4.1) для истинной траектории его приращение при переходе к бесконечно близкой траектории равно нулю: (7)Подставляя в (7) выражение (6) получаем: (8)

Второй интеграл в (8) будет равен: (9)Поскольку в (9) приращения вычисляются в моменты времени t ₀ и t₁, а в эти моменты все траектории проходят через точки М ₀ и М₁ соответственно, то указанные приращения равны нулю и, следовательно, равен нулю интеграл (9). В результате (8) принимает вид: (10)Выражение (10) может равняться нулю при произвольных и независимых между собой величинах только в случае одновременного равенства нулю всех коэффициентов при этих величинах: (1.6.11)Уравнения (11) - это и есть дифференциальные уравнения Лагранжа II рода. Их количество равно числу степеней свободы системы. Решая эти уравнения, необходимо найти обобщенные координаты как функции времени: (12)

Изучим структуру уравнений (11) несколько подробнее. Поскольку в функции Лагранжа L=T-П от обобщенный скоростей зависит только кинетическая энергия Т, то (11) можно переписать в виде: (13) или в виде: (14)Учитывая (3.13) можно записать и еще один вариант этих уравнений: (15)В соответствии с (5.6) имеем: (16)Отсюда видно, что уравнения Лагранжа являются уравнениями второго порядка относительно искомых функций. Суммарный порядок системы уравнений Лагранжа для материальной системы с n степенями свободы будет равен 2n. Следовательно, при их интегрировании возникают 2n произвольных постоянных, для нахождения которых требуется 2n дополнительных условий.