Корені многочленів

Нехай - многочлен над полем а - розширення

можна обчислити

Означення 14. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що

(Корінь многочлена інколи називають нулем многочлена).

Теорема 8. Елемент є коренем многочлена тоді і тільки тоді, коли лінійний двочлен є дільником многочлена

Доведення. За теремою Безу:

тоді і тільки тоді, коли тобто, коли - корінь многочлена

Означення 15. Елемент називається коренем многочлена , якщо .

Означення 16. Елемент називається - кратним коренем многочлена , якщо але не ділиться на

(19)

Корені кратності 1 називаються простими, корені кратності 2 і більше – кратними.

Розглянемо многочлен над полем а - будь-яке розширення поля

Припустимо, що є коренем кратності - корінь кратності …., - корінь кратності , причому при

Тоді згідно з (19), можна записати

(20)

де Оскільки має ділитись на (але ), а , то з (20) видно, що тобто

де - многочлен, який не має своїми коренями та

Продовжуючи міркувати в такий же спосіб, дістанемо:

(21)

де - многочлен, для якого жодний з елементів не є коренем.

З (21) видно, що

тобто

(22).

Отже, число коренів многочлена у полі не може перевищувати степеня цього многочлена, коли навіть кожний корінь урахувати стільки разів, яка його кратність. Остільки - довільне розширення поля , а будь-який корінь многочлена лежить у якомусь розширенні поля то ми дістали такий результат.

Теорема 9. Число усіх можливих коренів многочлена над полем не перевищує його степеня.

Наслідок. Якщо многочлен , степінь якого не перевищує має , різних коренів, то є нуль – многочлен.

Теорема 10. Існує один і тільки один многочлен не вище -го степеня, який приймає в різних точках задані значення

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор. 250-251.]

Існування коренів многочлена

Теорема 11 (Кронекера). Якщо - довільний многочлен над полем то існує розширення поля в якому є корінь .

Теорема 12. Для будь-якого многочлена , існує таке розширення поля в якому розкладається на лінійні множники.

Доведення. Нехай за теоремою 11 існує розширення поля в якому має корінь тому

Застосовуючи теорему 11 до поля і многочлена (якщо ), дістанемо розширення поля , в якому існує корінь многочлена - корінь многочлена .

Цей процес можна продовжити, дістаючи розширення поля корені і дільники многочлена , поки не дістанемо тобто Поле і є шукане поле , бо воно є розширенням поля в якому

(23)

Означення 17. Поле , в якому многочлен розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена.

Означення 18. Поле називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многочлена ненульового степеня.

або

- є алгебраїчно замкнуте поле, якщо усі корені будь-якого многочлена належать цьому самому полю.

[ – поле комплексних чисел] – алгебраїчно замкнуте.

Наслідок 1. Многочлен -го степеня має у полі розкладу коренів.

Наслідок 2. У полі розкладу многочлен

має канонічний розклад виду:

(24)

де - попарно різні корені многочлена .

Теорема 13 (Вієта). Якщо - корені многочлена

то

(25)

(25)

Доведення. - сума по всіх комбінаціях з індексів.

Для доведення формул (25) досить виконати множення у правій частині рівності

звести подібні члени і прирівняти коефіцієнти при однакових степенях в обох частинах.

Співвідношення (25) називають формулами Вієта.

Похідна від многочлена

Означення 19. Похідною від многочлена

називається многочлен

Похідну від многочлена нульового степеня, а також похідну від нуль-многочлена беруть рівною нулю.

З означення випливає, що похідна від многочлена над полем є знову многочлен над полем . є поле характеристики 0.

Для многочленів над полем дійсних чисел (як і для всіх диференційованих функцій) справедливі правила диференціювання:

,

Рівності (а), (б), (в), (г) залишаються в силі для похідних від многочленів над довільним полем.

В алгебрі розглядають також другу, третю,…, ту похідну від многочлена , відповідно позначаючи їх , ,…, ; при цьому визначають як похідну від . Якщо є многочлен го степеня, то, очевидно, при , (де старший коефіцієнт многочлена .

Відокремлення кратних множників

Вище (теорема 6 та її наслідки) було доведено, що всякий многочлен над полем можна єдиним способом подати у вигляді добутку многочленів нижчих степенів, незвідних у цьому полі:

. (26)

Вивчати властивості многочленів, знаходити їх корені було б значно легше, якби для кожного многочлена був відомий канонічний розклад (26); тоді було б досить розглядати лише незвідні множники, степінь яких, як правило, значно нижчий за степінь даного многочлена.

Покажемо, як в даних випадках можна розробити загальний метод розкладання многочлена на множники, хоч цей розклад не буде таким повним, як зображено у (26).

Виберемо у розкладі (26) ті незвідні множники , кратність яких і позначимо добуток цих множників через

.

Далі утворимо добуток тих множників , кратність яких і позначимо добуток цих множників через

Зауважимо, означає добуток самих незвідних множників кратності 2, а не їх квадратів, так що в розклад входить . Аналогічно через позначимо добуток незвідних множників у розкладі (26), що мають кратність 3, і так далі.

Тоді розклад (26) можна записати у такому вигляді:

(27)

або спрощено:

. (28)

Якщо множників кратності у розкладі (26) немає, природно вважати

Задача зображення многочлена у вигляді (27) називається відокремленням кратних множників.

Теорема 14. Якщо незвідний у даному полі многочлен є множником кратності для многочлена то він є множником кратності для похідної Якщо є множником першої кратності многочлена то він не входить у розклад похідної на незвідні множники.

Доведення. Те, що є множником кратності для можна записати так: де .

За правилами знаходження похідної від степеневої, складеної та добутку функцій, маємо:

Звідси бачимо, що

Для того, щоб довести, що є для множником саме кратності , треба показати, що

не ділиться на . Якби ділився на , то й

ділився б на . Оскільки це означало б, що а це неможливо, бо степінь менша за степінь .

Якщо кратність множника дорівнює 1, то дістанемо:

З наведених вище міркувань видно, що Це й означає, що в цьому разі не входить у розклад многочлена на незвідні множники у даному полі.

Наслідок. Для того, щоб многочлен не мав кратних множників, необхідно і достатньо, щоб був взаємно простий із своєю похідною .

Як ми знаємо, будь-який многочлен у даному полі можна подати у вигляді

(28).

Наше завдання полягатиме в тому, щоб, знаючи лише коефіцієнти визначити

Оскільки є добутком незвідних множників многочлена , які мають кратність то в жодний з цих множників (за теоремою 14) входити не буде. добуток незвідних множників кратності У усі ці множники входять з кратністю 1, тобто має своїм множником усіх цих незвідних множників у першому степені. Аналогічно, якщо має множником то матиме множник

Таким чином, можемо записати

де Тоді, на підставі теореми 7, найбільший спільний дільник є добутком усіх множників, які входять у розклади як , так і :

.

Знайдемо : , де . Далі,

.

Аналогічно можна обчислити:

(29)

вже не містять непотрібних нам множників Наша мета, полягає в тому, щоб знайти окремо.

Для цього поділимо на Дістанемо:

(30)

З формул (29) і (30) шукані множники дістаємо безпосередньо:

(31)

Висновок. У довільного многочлена над полем можна відокремити кратні множники за допомогою скінченого числа раціональних дій над деякими многочленами.

В означенні 16 ми розглянули поняття кореня кратності У ряді випадків буває зручно користуватися ознакою кратності кореня, яку ми розглянемо як теорему 15.

Теорема 15. Для того, щоб був коренем кратності необхідно і достатньо, щоб

(32)

Доведення. Необхідність. Нехай - корінь кратності Це означає, що - незвідний многочлен ї кратності многочлена . Але тоді за теоремою 14, є незвідним множником похідної кратності , тобто - корінь ої кратності Аналогічно - корінь ої кратності многочлена , ї кратності многочлена і т. д. Нарешті, має своїм множником кратності 1, а цього множника не матиме, і тому, за наслідком теореми Безу Отже, умова (32) справджується.

Достатність. Нехай справджується умова (32). Тоді - корінь многочлена Позначимо кратність цього кореня через і доведемо, що З доведеного вище випливає, що

(33)

Якби було то (32) свідчило б про те, що а це суперечить (33).

Аналогічно відкидаємо припущення, Отже,

Теорема 15 показує, що, знаючи корінь многочлена, легко визначити його кратність. Тому на практиці дослідження многочленів, які мають кратні корені, у більшості випадків зводять до дослідження многочленів нижчих степенів, що вже не мають кратних коренів. Це завжди можна зробити відокремленням кратних множників методами, описаними вище.

Приклад. Відокремити кратні множники многочлена

.

Розв‘язання. Щоб відокремити кратні множники многочлена , треба подати його у вигляді

,

де добуток всіх незвідних множників ї кратності в канонічному розкладі многочлена над полем при всіх . Знайдемо многочлени , ,…., для многочлена . Застосуємо алгоритм Евкліда:

.

Оскільки найбільший спільний дільник многочленів ми визначаємо з точністю до сталого множника, то щоб уникнути дробових коефіцієнтів, помножимо многочлен на 9, а похідну, поділимо на 2. Ділення виконуватимемо „кутом”.

.

Вираз , помножений на поділимо на .

.

Помножимо на і розділимо на .

Поділимо на .

Отже,

,

Обчислимо многочлени :

; .

Тепер знайдемо множники і :

; .

Таким чином, маємо

.